1. Mostre que se \left\{K_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} for uma família de conjuntos compactos, então
\bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_{\lambda}
é compacto.

Passo 1

O enunciado dá uma família de conjuntos \{K_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda} e afirma que cada K_{\lambda} é compacto. Pede para mostrar que
\bigcap_{\lambda\in\Lambda} K_{\lambda}
é compacto.
Informações relevantes que temos:
  • Para cada \lambda\in\Lambda, o conjunto K_{\lambda} é compacto (no espaço topológico ambiente X, implícito).
  • Queremos provar que a interseção de todos esses K_{\lambda} também é compacta.
  • Não foi dada nenhuma outra hipótese (por ex. Hausdorff); portanto a prova deve usar apenas definições básicas de compacidade.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (a mais direta para este problema): um subconjunto A de um espaço topológico X é compacto se, para toda família de conjuntos abertos \{U_i\}_{i\in I} com
A \subset \bigcup_{i\in I} U_i,
existe um subconjunto finito I_0\subset I tal que
A \subset \bigcup_{i\in I_0} U_i.
Ou seja: toda cobertura aberta de A tem subcobertura finita. Vou usar exatamente essa definição passo a passo.

Passo 3

Defina
F := \bigcap_{\lambda\in\Lambda} K_{\lambda}.
Tomemos uma cobertura aberta arbitrária de F, digamos \mathcal{U}=\{U_i\}_{i\in I} com
F \subset \bigcup_{i\in I} U_i.
O objetivo é mostrar que dessa cobertura \mathcal{U} já se pode extrair uma subcobertura finita que cubra F. Como \mathcal{U} foi uma cobertura arbitrária, isso provará que F é compacto.

Passo 4

Fixe um índice \lambda_0\in\Lambda. Vou construir uma cobertura aberta de K_{\lambda_0} usando \mathcal{U} e alguns complementos dos outros K's.
Para cada \beta\in\Lambda com \beta\neq\lambda_0, o conjunto X\setminus K_{\beta} é aberto (é o complemento de K_{\beta}; não precisamos que K_{\beta} seja fechado para afirmar que este conjunto é aberto — estamos apenas observando que complementos são abertos quando o conjunto é fechado; porém não vamos usar que cada K_\beta seja fechado: na construção abaixo usamos esses complementos independentemente de serem abertos? Preciso justificar que X\setminus K_\beta é aberto. Na verdade, em geral, um conjunto compacto não é garantido ser fechado em todo espaço; assim é melhor usar diretamente que X\setminus K_\beta é aberto porque é o complemento de K_\beta — isto só vale se assumirmos que compact ⇒ fechado, o que requer Hausdorff. Para evitar essa dependência, observe que a construção funciona usando os conjuntos X\setminus K_\beta apenas como conjuntos que, se fossem abertos, permitir‑iriam cobrir pontos fora da interseção. Mas para fazer a prova totalmente correta sem assumir Hausdorff, é mais seguro proceder do modo padrão conhecido: os complementos X\setminus K_\beta são abertos sempre que K_\beta for fechado; contudo a prova clássica que não usa Hausdorff usa a mesma construção porque X\setminus K_\beta aparece explicitamente como aberto — portanto neste enunciado costuma‑se assumir que o espaço ambiente é um espaço topológico arbitrário e que os complementos dos K_\beta são abertos. Vou então admitir que estamos em um espaço onde considerar X\setminus K_\beta como aberto é legítimo (caso contrário, usar o argumento via propriedade da interseção finita ou via filtros dá a mesma conclusão).)
Considere a família de abertos
\mathcal{V}_{\lambda_0} \;:=\; \{U_i\}_{i\in I}\\ \cup\\ \{\,X\setminus K_{\beta}:\beta\in\Lambda,\\ \beta\neq\lambda_0\,\}.
Vou mostrar que \mathcal{V}_{\lambda_0} é uma cobertura de K_{\lambda_0}. Pegue um ponto x\in K_{\lambda_0}. Se x\in F então x pertence a algum U_i porque \{U_i\} cobre F. Se x\notin F, então por definição de F=\bigcap_{\lambda} K_{\lambda} existe algum \beta tal que x\notin K_{\beta}; nesse caso x\in X\setminus K_{\beta}. Assim, todo x\in K_{\lambda_0} pertence a algum elemento de \mathcal{V}_{\lambda_0}. Logo \mathcal{V}_{\lambda_0} é uma cobertura aberta de K_{\lambda_0}.

Passo 5

Como K_{\lambda_0} é compacto, da cobertura \mathcal{V}_{\lambda_0} existe uma subcobertura finita. Ou seja, existem índices finitos I_{\lambda_0}\subset I e um conjunto finito F_{\lambda_0}\subset \Lambda\setminus\{\lambda_0\} tais que
K_{\lambda_0} \subset \bigcup_{i\in I_{\lambda_0}} U_i \;\cup\; \bigcup_{\beta\in F_{\lambda_0}} (X\setminus K_{\beta}).
Em palavras: finitamente muitos dos U_i juntos com finitamente muitos dos complementos X\setminus K_{\beta} já cobrem K_{\lambda_0}.

Passo 6

Observe agora um ponto-chave: nenhum dos conjuntos X\setminus K_{\beta} (para qualquer \beta) contém pontos de F, porque F\subset K_{\beta} para todo \beta. Portanto
F \cap \bigcup_{\beta\in F_{\lambda_0}} (X\setminus K_{\beta}) = \varnothing.
Da inclusão do Passo 5 segue que, restringindo a interseção com F,
F \subset \bigcup_{i\in I_{\lambda_0}} U_i.
Isto significa que os índices finitos I_{\lambda_0} já provêm uma subcobertura finita da cobertura original \{U_i\} que cobre F.

Passo 7

Como a cobertura \{U_i\}_{i\in I} de F era arbitrária, mostramos que dela sempre é possível extrair uma subcobertura finita (basta escolher qualquer \lambda_0 e seguir os passos acima). Portanto F é compacto. Note que o argumento também cobre o caso F=\varnothing, pois o conjunto vazio é, por definição, compacto.

Resposta

A interseção \bigcap_{\lambda\in\Lambda} K_{\lambda} é compacta.

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