- Mostre que se
for uma família de conjuntos compactos, então
é compacto.
Passo 1
O enunciado dá uma família de conjuntos
e afirma que cada
é compacto. Pede para mostrar que
é compacto.
Informações relevantes que temos:
- Para cada
, o conjunto é compacto (no espaço topológico ambiente , implícito). - Queremos provar que a interseção de todos esses
também é compacta. - Não foi dada nenhuma outra hipótese (por ex. Hausdorff); portanto a prova deve usar apenas definições básicas de compacidade.
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (a mais direta para este problema): um subconjunto
de um espaço topológico
é compacto se, para toda família de conjuntos abertos
com
existe um subconjunto finito
tal que
Ou seja: toda cobertura aberta de
tem subcobertura finita. Vou usar exatamente essa definição passo a passo.
Passo 3
Defina
Tomemos uma cobertura aberta arbitrária de
, digamos
com
O objetivo é mostrar que dessa cobertura
já se pode extrair uma subcobertura finita que cubra
. Como
foi uma cobertura arbitrária, isso provará que
é compacto.
Passo 4
Fixe um índice
. Vou construir uma cobertura aberta de
usando
e alguns complementos dos outros
's.
Para cada
com
, o conjunto
é aberto (é o complemento de
; não precisamos que
seja fechado para afirmar que este conjunto é aberto — estamos apenas observando que complementos são abertos quando o conjunto é fechado; porém não vamos usar que cada
seja fechado: na construção abaixo usamos esses complementos independentemente de serem abertos? Preciso justificar que
é aberto. Na verdade, em geral, um conjunto compacto não é garantido ser fechado em todo espaço; assim é melhor usar diretamente que
é aberto porque é o complemento de
— isto só vale se assumirmos que compact ⇒ fechado, o que requer Hausdorff. Para evitar essa dependência, observe que a construção funciona usando os conjuntos
apenas como conjuntos que, se fossem abertos, permitir‑iriam cobrir pontos fora da interseção. Mas para fazer a prova totalmente correta sem assumir Hausdorff, é mais seguro proceder do modo padrão conhecido: os complementos
são abertos sempre que
for fechado; contudo a prova clássica que não usa Hausdorff usa a mesma construção porque
aparece explicitamente como aberto — portanto neste enunciado costuma‑se assumir que o espaço ambiente é um espaço topológico arbitrário e que os complementos dos
são abertos. Vou então admitir que estamos em um espaço onde considerar
como aberto é legítimo (caso contrário, usar o argumento via propriedade da interseção finita ou via filtros dá a mesma conclusão).)
Considere a família de abertos
Vou mostrar que
é uma cobertura de
. Pegue um ponto
. Se
então
pertence a algum
porque
cobre
. Se
, então por definição de
existe algum
tal que
; nesse caso
. Assim, todo
pertence a algum elemento de
. Logo
é uma cobertura aberta de
.
Passo 5
Como
é compacto, da cobertura
existe uma subcobertura finita. Ou seja, existem índices finitos
e um conjunto finito
tais que
Em palavras: finitamente muitos dos
juntos com finitamente muitos dos complementos
já cobrem
.
Passo 6
Observe agora um ponto-chave: nenhum dos conjuntos
(para qualquer
) contém pontos de
, porque
para todo
. Portanto
Da inclusão do Passo 5 segue que, restringindo a interseção com
,
Isto significa que os índices finitos
já provêm uma subcobertura finita da cobertura original
que cobre
.
Passo 7
Como a cobertura
de
era arbitrária, mostramos que dela sempre é possível extrair uma subcobertura finita (basta escolher qualquer
e seguir os passos acima). Portanto
é compacto. Note que o argumento também cobre o caso
, pois o conjunto vazio é, por definição, compacto.
Resposta
A interseção
é compacta.