- Dê, explicitamente, o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações, você está proibido de usar qualquer das palavras destacadas abaixo:
(e)
nāo é limitado.
Passo 1
O enunciado pede: dar, de forma explícita, o significado da afirmação do item (e) sobre o conjunto
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Há um conjunto
(assumir que pertence a um espaço vetorial normado ou a ). - A afirmação em foco trata da ausência de uma cota para as normas dos elementos de
. - Objetivo: escrever essa ideia de modo formal e explicar o que cada símbolo e quantificador representam.
Passo 2
Definir primeiro a propriedade contrária (para ficar claro o que estamos negando).
Definição (conjunto com cota superior para a norma): diz-se que um conjunto possui uma cota superior para as normas dos seus elementos quando existe um número real
tal que, para todo
, vale
.
Explicação dos símbolos nessa definição:
Definição (conjunto com cota superior para a norma): diz-se que um conjunto
Explicação dos símbolos nessa definição:
-
representa um número real positivo que funciona como limite comum para as normas. -
indica um elemento qualquer do conjunto . -
significa a norma de , isto é, uma medida do tamanho de (por exemplo, em pode ser a norma euclidiana ). - A expressão
diz que cada elemento do conjunto tem norma menor ou igual a .
Passo 3
Escrever a negação formal dessa propriedade (essa negação corresponde à afirmação que o enunciado quer que expliquemos).
Negação da frase "existe tal que, para todo
,
" possui forma lógica padrão: "para todo
existe
tal que
".
Em notação:
Negação da frase "existe
Em notação:
Interpretação passo a passo dos quantificadores:
- O quantificador
significa “para cada número real positivo que você escolher”. - O quantificador
significa "existe pelo menos um elemento dentro de ". - A condição
afirma que a norma desse supera o número escolhido.
Passo 4
Intuição prática e como apresentar essa ideia numa prova (passo a passo que você pode reproduzir na hora da avaliação).
- Mensagem intuitiva: qualquer limite que se tente impor ao tamanho dos elementos de
pode ser ultrapassado por algum elemento de . Ou seja, existem elementos de com norma arbitrariamente grande. - Estrutura de prova direta (modo típico): comece com “seja
arbitrário”. Em seguida, mostre como construir um elemento que satisfaça . Ao conseguir isso para um arbitrário, conclui-se que a condição da expressão da Passo 3 vale para todo . - Outro método comum: construir uma sequência
tal que quando . A existência de tal sequência implica a expressão da Passo 3.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar a ideia (mostre o raciocínio completo, como na prova).
- Exemplo 1 (conjunto habitual): tome
com norma absoluta. Dados , escolha com (isso sempre pode ser feito pelo princípio arquimediano). Então , logo com . Assim satisfaz a fórmula da Passo 3. - Exemplo 2 (contraste): se
for o intervalo , existe tal que, para todo , . Nesse caso a fórmula da Passo 3 falha, porque não se consegue, para , encontrar com . Esse contraste ajuda a entender a diferença entre os dois tipos de comportamento.
Passo 6
Resumo didático e dica final de redação para a prova: quando pedir que se mostre que um conjunto possui a propriedade em foco, escreva exatamente a fórmula quantificada da Passo 3 e proceda por construção de um elemento dependente de
ou por exibição de uma sequência cuja norma diverge. Isso deixa a resposta clara e completa.