1. Mostre que \partial A=\bar{A} \backslash \operatorname{int}(A).

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para um conjunto A (num espaço topológico qualquer, digamos X), vale a igualdade
\partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A).
Informações dadas / hipóteses implícitas:
  • Tem-se um espaço topológico X.
  • A é um subconjunto de X.
  • A tarefa é provar a igualdade entre o fecho de A sem a parte interior de A e a fronteira (boundary) de A.

Passo 2

Definições e intuição (essenciais para a prova) — vou explicar devagar e com exemplos simples.
  • Definição de interior: \operatorname{int}(A) é o conjunto de pontos de A que têm alguma vizinhança totalmente contida em A. Em palavras: x\in\operatorname{int}(A) se existe um aberto U com x\in U e U\subset A.
  • Definição de fecho (ou aderência): \overline{A} é o conjunto de pontos tal que toda vizinhança do ponto intersecta A. Em palavras: x\in\overline{A} se para todo aberto U com x\in U tem U\cap A\neq\varnothing.
  • Definição de fronteira (boundary): \partial A é o conjunto de pontos cujas vizinhanças intersectam tanto A quanto o complemento X\setminus A. Em fórmulas: x\in\partial A se, para todo aberto U com x\in U, tem U\cap A\neq\varnothing e U\cap (X\setminus A)\neq\varnothing.
Intuição rápida com um exemplo: em \mathbb{R} com a topologia usual, para A=(0,1) tem-se \operatorname{int}(A)=(0,1), \overline{A}=[0,1] e \partial A=\{0,1\}. Repare que \overline{A}\setminus\operatorname{int}(A)=[0,1]\setminus(0,1)=\{0,1\}, que bate com \partial A.

Passo 3

Provar a inclusão \partial A\subseteq\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A).
Seja x\in\partial A. Pela definição de fronteira, toda vizinhança aberta U de x satisfaz U\cap A\neq\varnothing. Isso é exatamente a definição de x\in\overline{A}. Portanto x\in\overline{A}.
Além disso, ainda da definição de fronteira, toda vizinhança U de x também satisfaz U\cap (X\setminus A)\neq\varnothing. Se x pertencesse a \operatorname{int}(A) existiria uma vizinhança U tal que U\subset A; mas isso contradiz o fato de que toda vizinhança intersecta X\setminus A. Logo x\notin\operatorname{int}(A).
Combinando: x\in\overline{A} e x\notin\operatorname{int}(A), isto é x\in\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A). Como x\in\partial A foi arbitrário, segue a inclusão desejada.

Passo 4

Provar a inclusão \overline{A}\setminus\operatorname{int}(A)\subseteq\partial A.
Seja x\in\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A). Então:
  • x\in\overline{A} implica que toda vizinhança U de x satisfaz U\cap A\neq\varnothing.
  • x\notin\operatorname{int}(A) significa que não existe vizinhança U de x tal que U\subset A. A negação da existência de tal U é: para toda vizinhança U de x, U\not\subset A, ou seja, U\cap (X\setminus A)\neq\varnothing.
Portanto, para toda vizinhança U de x temos simultaneamente U\cap A\neq\varnothing e U\cap (X\setminus A)\neq\varnothing. Isso é exatamente a definição de x\in\partial A. Como x foi arbitrário, obtemos a inclusão desejada.

Passo 5

Conclusão: das inclusões dos Passos 3 e 4 temos as duas inclusões opostas, portanto igualdade:
\partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A).
Observação final rápida (para fixar): a prova foi baseada unicamente nas definições — fecho = toda vizinhança encontra A; interior = existe vizinhança contida em A; fronteira = toda vizinhança encontra A e seu complemento. Essas negações e implicações lógicas são a alma da prova.

Resposta

\partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A)

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