1. Determine a interseção do parabolóide 4 y^2-9 x^2=36 z com o plano 3 x+2 y-z=0. (resp.: as retas concorrentes r1: x=2 t, y=3 t, z=12 t e r2: x=2 t, y=18-3 t, z=36 )

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o paraboloide
4y^2-9x^2=36z
e o plano
3x+2y-z=0
O conteúdo é determinar uma curva conica degenerada (pois esse paraboloide é um hiperbolóide parabólico régrado) cortado por um plano, e veremos que ela se decompõe em duas retas.

Passo 2

Da equação do plano temos
z=3x+2y
Substituindo em 4y^2-9x^2=36z obtemos uma equação só em x,y:
4y^2-9x^2=36,(3x+2y)

Passo 3

Expandindo e recolhendo termos em x,y:
4y^2-9x^2-108x-72y=0
Agrupando para completar quadrados:
4l(y^2-18yr)-9l(x^2+12xr)=0

Passo 4

Complete os quadrados:
y^2-18y=(y-9)^2-81, x^2+12x=(x+6)^2-36
Logo
4l[(y-9)^2-81r]-9l[(x+6)^2-36r]=0 Longrightarrow 4(y-9)^2-9(x+6)^2=0

Passo 5

A equação acima fatoriza como
isto é, duas retas no plano
Voltando ao espaço, em cada caso impomos também (z=3x+2y] para obter as duas retas de interseção.

Passo 6

Primeira reta ( 2(y-9)-3(x+6)=0 e z=3x+2y):
2y-18-3x-18=0;Longrightarrow;3x-2y+36=0, z=3x+2y
Parametrizando por t:
x=t, y=tfrac32,t+18, z=3t+2l(tfrac32,t+18r)=6t+36
Para limpar coeficientes, troque t=2s:
boxedr2:;x=2s,;y=3s+18,;z=12s+36
Segunda reta ( 2(y-9)+3(x+6)=0 e z=3x+2y):
2y-18+3x+18=0;Longrightarrow;3x+2y=0, z=0
Parametrizando por t:
x=2t, y=-3t, z=0
Ou seja
boxedr1:;x=2t,;y=-3t,;z=0

Resposta

As retas de interseção são
r1:;x=2t,;y=-3t,;z=0 e r2:;x=2s,;y=3s+18,;z=12s+36

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