1. Determine o vértice e o foco da parábola interseção do plano y=2 com o paraboloide hiperbólico 9 y^2-36 x^2=16 z.
    (resp.: V(0,2,9 / 4) ; ; F(0,2,77 / 36))

Passo 1

O enunciado pede o vértice e o foco da parábola obtida ao intersectar o plano y=2 com o paraboloide hiperbólico
9y^2 - 36x^2 = 16z
O conteúdo aqui é Seções Cônicas em superfícies quádricas; para resolver, vamos substituir y=2 e reconhecer a equação resultante como uma parábola no plano y=2.

Passo 2

Substituindo y=2 em 9y^2 - 36x^2 = 16z obtemos
9cdot(2)^2 - 36x^2 = 16z Longrightarrow 36 - 36x^2 = 16z
Isolando z,
z = 36 - 36x^216 = 94(1 - x^2)

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de parábola com eixo paralelo a z, colocamos
z - 94 = -94,x^2
Multiplicando por -tfrac49,
x^2 = 4pl(z - tfrac94r) com 4p = -49 ;Longrightarrow; p = -19

Passo 4

Na forma x^2 = 4p(z - z0), o vértice da parábola é (x,z)=(0,z0). Aqui z0 = tfrac94. Como a seção está em y=2, o vértice é
Vl(0,,2,,tfrac94r)

Passo 5

O foco, medindo p ao longo do eixo positivo de z (considerando o sinal de p), fica em
zF = z0 + p = 94 - 19 = 81 - 436 = 7736,
mantendo x=0 e y=2. Assim
Fl(0,,2,,tfrac7736r)

Resposta

V(0,2,tfrac94) ; F(0,2,tfrac7736)

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