Mostre que se
não for Banach, então
pode não ser completo. Sugestão: Talvez seja fácil construir uma sequência de Cauchy em
não convergente. Na verdade, sempre que
não for completo
também não será. Veremos isso mais adiante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que
não for completo, o espaço
dos operadores lineares contínuos de
em
pode deixar de ser completo. Para isso vamos construir um exemplo concreto com
onde
é o espaço de todas as sequências limitadas com a norma
, e
também com a norma do supremo. Note que
não é completo, pois sua conclusão em norma é
que contém sequências infinitamente não-nulas que convergem a zero.
Passo 2
Definimos, para cada
, o operador
É claro que
porque, após a coordenada
, todos os termos são zero. É fácil ver que
é linear e
logo
.
Passo 3
Calculamos a diferença entre dois operadores
e
com, digamos,
:
Logo
Isto mostra que, ao fixar
e deixar
, a norma
. Portanto
é uma sequência de Cauchy em
.
Passo 4
Se
fosse completo, haveria um operador
tal que
. Mas, para cada
, pela convergência em norma de operadores teríamos
Esse
é um operador linear e contínuo de
em
, mas não em
, pois para muitas sequências
(por exemplo
) a imagem
não tem suporte finito, logo não pertence a . Assim não existe limite em
.
não tem suporte finito, logo não pertence a
Resposta
Mostramos um exemplo de sequência de Cauchy em
que não converge em
. Conclui-se que, se
não for Banach, então
pode não ser completo.