Mostre que se Y não for Banach, então L(X, Y) pode não ser completo. Sugestão: Talvez seja fácil construir uma sequência de Cauchy em L(ellinfty, c00) não convergente. Na verdade, sempre que Y não for completo L(X, Y) também não será. Veremos isso mais adiante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que Y não for completo, o espaço L(X,Y) dos operadores lineares contínuos de X em Y pode deixar de ser completo. Para isso vamos construir um exemplo concreto com
X = ellinfty, Y = c00,
onde
ellinfty é o espaço de todas as sequências limitadas com a norma |x|infty=supi|xi|, e
c00=ly=(y1,y2,dots)mid yi=0 para quase todo ir,
também com a norma do supremo. Note que c00 não é completo, pois sua conclusão em norma é c0 que contém sequências infinitamente não-nulas que convergem a zero.

Passo 2

Definimos, para cada ninN, o operador
Tncolon ellinftyto c00, Tn(x) = l(tfracx11,tfracx22,dots,tfracxnn,0,0,dotsr)
É claro que Tn(x)in c00 porque, após a coordenada n, todos os termos são zero. É fácil ver que Tn é linear e
|Tn(x)|infty =max1<= i<= n|xi|i <=|x|inftymax1<= i<= n1i=|x|infty11=|x|infty,
logo |Tn|<=1.

Passo 3

Calculamos a diferença entre dois operadores Tn e Tm com, digamos, m>n:
(Tn-Tm)(x) =l(0,dots,0,tfracxn+1n+1,dots,tfracxmm,0,0,dotsr)
Logo
|Tn-Tm| =sup|x|infty=1|(Tn-Tm)(x)|infty =sup|x|infty=1maxn< i<= m|xi|i =maxn< i<= m1i =1n+1
Isto mostra que, ao fixar n e deixar mtoinfty, a norma |Tn-Tm|<=1/(n+1)to0. Portanto (Tn) é uma sequência de Cauchy em L(ellinfty,c00).

Passo 4

Se L(ellinfty,c00) fosse completo, haveria um operador TinL(ellinfty,c00) tal que |Tn-T|to0. Mas, para cada xinellinfty, pela convergência em norma de operadores teríamos
T(x)=limntoinftyTn(x) =l(tfracx11,tfracx22,tfracx33,dotsr)
Esse T é um operador linear e contínuo de ellinfty em ellinfty, mas não em c00, pois para muitas sequências x (por exemplo x=(1,1,1,dots)) a imagem
l(1,1/2,1/3,dotsr)
não tem suporte finito, logo não pertence a c00. Assim não existe limite em L(ellinfty,c00).

Resposta

Mostramos um exemplo de sequência de Cauchy em L(ellinfty,c00) que não converge em L(ellinfty,c00). Conclui-se que, se Y não for Banach, então L(X,Y) pode não ser completo.

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