Sejam X e Y espaços normados.
(a) Mostre se Tn T em L(X, Y), então Tn(x) T(x), forall x in X. Ou seja, a convergência em L(X, Y) implica convergência pontual.
(b) Mostre que a recíproca não é verdadeira. Para isso, considere a sequência en: c0 K definida por en^*((xm)m)=xn. Mostre que (en^*) converge pontualmente para o funcional nulo mas não em norma.

Passo 1

O enunciado está dizendo que em L(X,Y), o espaço dos operadores lineares contínuos de um espaço normado X em outro Y, podemos comparar duas noções de convergência:
  • Convergência em norma (ou convergência uniforme de operadores), que significa
|Tn - T| ;longrightarrow;0
  • Convergência pontual, que significa
Tn(x);longrightarrow;T(x) para cada xin X
No item (a) temos de provar que a convergência em norma implica sempre convergência pontual. No item (b) vamos dar um contra-exemplo em X=c0 (sequências que tendem a zero, com a norma do supremo) mostrando que a recíproca falha.

Passo 2

Lembrando a definição de norma de operador, para todo xin X vale
|Tn(x)-T(x)| ;<=; |Tn - T|;|x|
Se por hipótese |Tn - T|to0, então o produto |Tn - T|;|x| também tende a zero (pois |x| é fixo).

Passo 3

Concluímos imediatamente que para cada xin X
|Tn(x)-T(x)|;longrightarrow;0,
ou seja, Tn(x)to T(x). Isso prova o item (a).

Passo 4

Agora o contra-exemplo em c0. Definimos para cada n o funcional linear
en^*colon c0 to K, en^*((xm)m)=xn
Note que se (xm)in c0 então xmto0, logo
en^*((xm)) = xn ;longrightarrow;0 quando ntoinfty,
e isso vale para cada sequência fixa (xm). Assim l(en^*r) converge pontualmente ao funcional zero.

Passo 5

Por outro lado, a norma do funcional en^* é
|en^*| =sup|(xm)|infty<=1|xn| =1 para todo n,
pois basta escolher a sequência que é 1 na posição n e zero nas outras. Logo
|en^* - 0| = |en^*| = 1
não tende a zero. Isso mostra que não há convergência em norma, provando o item (b).

Resposta

(a) Usando
|Tn(x)-T(x)|<=|Tn-T||x| e |Tn-T|to0, segue Tn(x)to T(x).
(b) Em c0, os funcionais de avaliação en^* satisfazem en^*(x)=xnto0 ponto a ponto, mas |en^*|=1 para todo n, logo não convergem em norma.

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