Sejam
e
espaços normados.
(a) Mostre se
em
, então
. Ou seja, a convergência em
implica convergência pontual.
(b) Mostre que a recíproca não é verdadeira. Para isso, considere a sequência
definida por
. Mostre que
converge pontualmente para o funcional nulo mas não em norma.
(a) Mostre se
(b) Mostre que a recíproca não é verdadeira. Para isso, considere a sequência
Passo 1
O enunciado está dizendo que em
, o espaço dos operadores lineares contínuos de um espaço normado
em outro
, podemos comparar duas noções de convergência:
- Convergência em norma (ou convergência uniforme de operadores), que significa
- Convergência pontual, que significa
No item (a) temos de provar que a convergência em norma implica sempre convergência pontual. No item (b) vamos dar um contra-exemplo em
(sequências que tendem a zero, com a norma do supremo) mostrando que a recíproca falha.
Passo 2
Lembrando a definição de norma de operador, para todo
vale
Se por hipótese
, então o produto
também tende a zero (pois
é fixo).
Passo 3
Concluímos imediatamente que para cada
ou seja,
. Isso prova o item (a).
Passo 4
Agora o contra-exemplo em
. Definimos para cada
o funcional linear
Note que se
então
, logo
e isso vale para cada sequência fixa
. Assim
converge pontualmente ao funcional zero.
Passo 5
Por outro lado, a norma do funcional
é
pois basta escolher a sequência que é
na posição
e zero nas outras. Logo
não tende a zero. Isso mostra que não há convergência em norma, provando o item (b).
Resposta
(a) Usando
e
, segue
.
(b) Em , os funcionais de avaliação
satisfazem
ponto a ponto, mas
para todo
, logo não convergem em norma.
(b) Em