As quádricas a seguir, são quádricas deslocadas da origem. Complete o quadrado e determine qual é a quádrica e o centro.
x^{2}-y^{2}-z^{2}+8 x-2 y+6 z=-5

Passo 1

O enunciado nos dá a quadriculada deslocada da origem
x^{2}-y^{2}-z^{2}+8x-2y+6z=-5
e pede que a gente complete o quadrado para encontrar a forma canônica, identificar qual tipo de quádricas é e achar seu centro. Para isso, vamos agrupar os termos em x, y e z e completar o quadrado em cada grupo.

Passo 2

Começando pelos termos em x:
x^{2}+8x = (x+4)^{2} - 16.
Aqui usamos a identidade (x+h)^{2}=x^{2}+2hx+h^{2} com h=4.

Passo 3

Agora os termos em y:
-y^{2}-2y = -\bigl(y^{2}+2y\bigr) = -\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) = -(y+1)^{2} +1.
Aí usamos (y+1)^{2}=y^{2}+2y+1.

Passo 4

Em seguida, os termos em z:
-z^{2}+6z = -\bigl(z^{2}-6z\bigr) = -\bigl((z-3)^{2}-9\bigr) = -(z-3)^{2}+9.
Aqui aplicamos (z-3)^{2}=z^{2}-6z+9.

Passo 5

Substituindo tudo de volta na equação original:
(x+4)^{2}-16 \;-\;(y+1)^{2}+1 \;-\;(z-3)^{2}+9 = -5.
Somando as constantes -16+1+9 = -6, temos
(x+4)^{2} - (y+1)^{2} - (z-3)^{2} - 6 = -5 \quad\Longrightarrow\quad (x+4)^{2} - (y+1)^{2} - (z-3)^{2} = 1.

Passo 6

A forma
(x+4)^{2} - (y+1)^{2} - (z-3)^{2} = 1
é a equação canônica de um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo principal é paralelo ao eixo x. O centro da quádricas é o ponto de translação (-4,-1,3).

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas e seu centro é \bigl(-4,\,-1,\,3\bigr).

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