As quádricas a seguir, são quádricas deslocadas da origem. Complete o quadrado e determine qual é a quádrica e o centro.
x^{2}-y^{2}-z^{2}+8 x-2 y+6 z=-5

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas
x^{2}-y^{2}-z^{2}+8x-2y+6z=-5
e pede para completar o quadrado, descobrir o centro e classificar a quádricas. Vamos usar o método de completar quadrados nas variáveis x, y e z, e em seguida analisar os sinais dos termos quadráticos para identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Separemos e completemos o quadrado em cada variável:
Para x:
x^{2}+8x = (x+4)^{2} - 16.
Para y:
-y^{2}-2y = -\bigl(y^{2}+2y\bigr) = -\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) = -(y+1)^{2} +1.
Para z:
-z^{2}+6z = -\bigl(z^{2}-6z\bigr) = -\bigl((z-3)^{2}-9\bigr) = -(z-3)^{2} +9.

Passo 3

Substituindo de volta na equação original:
(x+4)^{2} -16 \;+\;\bigl[-(y+1)^{2}+1\bigr]\;+\;\bigl[-(z-3)^{2}+9\bigr] = -5.
Agrupando as constantes:
(x+4)^{2} - (y+1)^{2} - (z-3)^{2} \;+\;(-16+1+9) = -5 \quad\Longrightarrow\quad (x+4)^{2} - (y+1)^{2} - (z-3)^{2} -6 = -5.
Logo
(x+4)^{2} - (y+1)^{2} - (z-3)^{2} = 1.

Passo 4

Na forma
\bigl(x+4\bigr)^{2} - \bigl(y+1\bigr)^{2} - \bigl(z-3\bigr)^{2} = 1
vemos um termo quadrático positivo e dois negativos. Essa é a forma padrão de um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo principal é paralelo ao eixo x. O centro é o ponto de translação que anula os termos lineares, isto é
(-4,\,-1,\,3).

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de duas folhas e seu centro é (-4,-1,3).

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