Determine a interseção da reta r com o plano pi, sendo
r:c 2 x-y+z=3 4 x+z=1 e pi:l x=2 t-s y=t+s-1 ; s, t in R z=-t+2

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre a reta
e o plano e .

Passo 2

Anotamos as coordenadas do ponto genérico de pi:
x = 2t - s, y = t + s - 1, z = -t + 2
E as equações da reta r:
2x - y + z = 3, 4x + z = 1

Passo 3

Substituímos x,y,z do plano nas equações de r:
2(2t - s);-;(t + s - 1);+;(-t + 2);=;3,
4(2t - s);+;(-t + 2);=;1

Passo 4

Simplificamos cada uma:
  1. 2(2t - s)=4t-2s, -(t+s-1)=-t-s+1, +(-t+2)=-t+2. Soma:
4t - 2s - t - s + 1 - t + 2 = 2t - 3s + 3
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2t - 3s + 3 = 3 Longrightarrow 2t - 3s = 0
  1. 4(2t - s) = 8t - 4s, soma com -t+2:
8t - 4s - t + 2 = 7t - 4s + 2
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7t - 4s + 2 = 1 Longrightarrow 7t - 4s = -1

Passo 5

Resolvendo o sistema
2t - 3s = 0, 7t - 4s = -1,
da primeira t = tfrac3s2. Substituindo na segunda:
7cdot3s2 -4s = -1 Longrightarrow 21s -8s2 = -1 Longrightarrow 13s2 = -1 Longrightarrow s = -213,
t = 32,s = 32cdotl(-213r) = -313

Passo 6

Agora substituímos em l(x,y,zr):
x = 2t - s = 2l(-tfrac313r) - l(-tfrac213r) = -tfrac613 + tfrac213 = -tfrac413,
y = t + s - 1 = -tfrac313 - tfrac213 - 1 = -tfrac513 - 1 = -tfrac1813,
z = -t + 2 = -l(-tfrac313r) + 2 = tfrac313 + 2 = tfrac2913

Resposta

A interseção de r com pi é o ponto
l(-tfrac413,, -tfrac1813,, tfrac2913r)

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