Determine a intersecção da qrádrica z=5 x^{2}+y^{2} com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
y=0

Passo 1

O enunciado pede a curva obtida ao intersectar a quádru­rica
z = 5x^{2} + y^{2}
com o plano
y = 0.
O conteúdo envolve interseção de superfícies em \mathbb{R}^{3}: basta fazer substituição para reduzir uma das variáveis e obter a curva no espaço.

Passo 2

Substituindo y=0 em z = 5x^{2} + y^{2} temos
z = 5x^{2}.
Logo a interseção é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
y = 0
e
z = 5x^{2}.

Passo 3

Essa curva é um parabola vertical no plano y=0 (o plano xz). Podemos parametrizá-la por
\vec r(t) = \bigl(t,\,0,\,5t^{2}\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
Para esboçar, desenhe no plano y=0 (eixo x horizontal, eixo z vertical) a parábola cujo vértice está na origem e que “abre” para cima, com largura controlada pelo fator 5.

Resposta

A interseção é a parábola
\bigl\{(x,0,5x^{2})\mid x\in\mathbb{R}\bigr\},
ou, em forma paramétrica,
\vec r(t)=(t,0,5t^{2}),\quad t\in\mathbb{R}.

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