(Valor 0,5). Qual é a forma correta da decomposição em frações parciais para a funç
f(x)=\frac{1}{(x-2)(x+3)}=?
a) \frac{A x+B}{(x-2)(x+3)}
b) \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}
c) \frac{A}{x-2}+\frac{B x}{x+3}
d) \frac{A}{(x-2)(x+3)}

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das alternativas é a forma correta da decomposição em frações parciais da função
f(x)=\frac{1}{(x-2)(x+3)}.
As alternativas oferecidas são:
\text{(a)}\\ \frac{A x+B}{(x-2)(x+3)}\quad \text{(b)}\\ \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}\quad \text{\text{(c)}}\\ \frac{A}{x-2}+\frac{B x}{x+3}\quad \text{(d)}\\ \frac{A}{(x-2)(x+3)}.
A pergunta é: qual dessas formas é a correta forma de decomposição em frações parciais para a função dada?

Passo 2

Conceito chave (explicado de forma simples). Quando o denominador de uma fração racional se fatoriza em fatores lineares distintos, por exemplo em (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n), a decomposição em frações parciais apropriada é a soma de termos da forma
\frac{C_1}{x-r_1}+\frac{C_2}{x-r_2}+\cdots+\frac{C_n}{x-r_n},
ou seja, um termo por cada fator linear, com numerador sendo uma constante (grau zero). A razão disso: cada fração parcial tem denominador de grau 1, então o numerador deve ter grau menor que 1, logo é uma constante. Isso facilita resolver para as constantes C_i depois.

Passo 3

Aplicando o conceito ao nosso caso: o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos (x-2) e (x+3). Portanto a forma padrão de decomposição é
\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3},
que corresponde exatamente à alternativa (b).
Por que as outras alternativas estão erradas?
  • (a) \dfrac{A x+B}{(x-2)(x+3)}: isso é simplesmente escrever um numerador linear sobre o mesmo denominador — não é uma decomposição em frações parciais (ainda que represente uma forma geral de fração racional). Para decomposição queremos somar frações mais simples com denominadores os fatores lineares.
  • (c) \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B x}{x+3}: aqui o segundo numerador é B x, de grau 1, não menor que o grau do denominador ( 1). Isso viola a regra de que cada numerador deve ter grau estritamente menor que o denominador correspondente.
  • (d) \dfrac{A}{(x-2)(x+3)}: isto é apenas uma constante sobre o produto, ou seja, não é uma soma de frações com denominadores mais simples; não é a forma de frações parciais.

Passo 4

Verificação explícita (opcional, mas útil para aprender a técnica). Assumindo a forma (b),
\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+3) obtemos a identidade
1 = A(x+3)+B(x-2).
Agora determinamos A e B escolhendo valores convenientes de x:
  • Para x=2:
1 = A(2+3)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 1 = 5A\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{5}.
  • Para x=-3:
1 = A(0)+B(-3-2)\quad\Rightarrow\quad 1 = -5B\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{5}.
Portanto a decomposição fica
\frac{1}{(x-2)(x+3)}=\frac{1/5}{x-2}-\frac{1/5}{x+3},
o que confirma que a forma correta é a da alternativa (b).

Passo 5

Resumo rápido e ânimo: sempre que o denominador for produto de fatores lineares distintos, escolha uma soma de constantes sobre cada fator. Isso é padrão em provas e facilita muito os cálculos — e você já viu como resolver as constantes com valores espertos de x. Força nos estudos, você consegue!

Resposta

b) \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}

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