(Valor 0,5). Qual é a forma correta da decomposição em frações parciais para a funç
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das alternativas é a forma correta da decomposição em frações parciais da função
As alternativas oferecidas são:
A pergunta é: qual dessas formas é a correta forma de decomposição em frações parciais para a função dada?
Passo 2
Conceito chave (explicado de forma simples). Quando o denominador de uma fração racional se fatoriza em fatores lineares distintos, por exemplo em
, a decomposição em frações parciais apropriada é a soma de termos da forma
ou seja, um termo por cada fator linear, com numerador sendo uma constante (grau zero). A razão disso: cada fração parcial tem denominador de grau
, então o numerador deve ter grau menor que
, logo é uma constante. Isso facilita resolver para as constantes
depois.
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso caso: o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos
e
. Portanto a forma padrão de decomposição é
que corresponde exatamente à alternativa (b).
Por que as outras alternativas estão erradas?
- (a)
: isso é simplesmente escrever um numerador linear sobre o mesmo denominador — não é uma decomposição em frações parciais (ainda que represente uma forma geral de fração racional). Para decomposição queremos somar frações mais simples com denominadores os fatores lineares. - (c)
: aqui o segundo numerador é , de grau , não menor que o grau do denominador ( ). Isso viola a regra de que cada numerador deve ter grau estritamente menor que o denominador correspondente. - (d)
: isto é apenas uma constante sobre o produto, ou seja, não é uma soma de frações com denominadores mais simples; não é a forma de frações parciais.
Passo 4
Verificação explícita (opcional, mas útil para aprender a técnica). Assumindo a forma (b),
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Agora determinamos
e
escolhendo valores convenientes de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a decomposição fica
o que confirma que a forma correta é a da alternativa (b).
Passo 5
Resumo rápido e ânimo: sempre que o denominador for produto de fatores lineares distintos, escolha uma soma de constantes sobre cada fator. Isso é padrão em provas e facilita muito os cálculos — e você já viu como resolver as constantes com valores espertos de
. Força nos estudos, você consegue!
Resposta
b)