Determine o intervalo de convergência de cada série de potências abaixo.
sumn=0^infty n+1n x^n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty n+1n x^n. Isso significa que queremos saber para quais valores de x essa série “funciona” e dá um resultado finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica matemática que nos ajuda a descobrir quando uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No caso, o termo geral é:
an = n+1n x^n
Esse termo nos mostra como cada elemento da série é construído a partir de n.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando n tende ao infinito. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
L &= limn to infty | (n+2)(n+1) x^n+1n+1n x^n | &= limn to infty | (n+2)n(n+1)^2 x | &= limn to infty | x cdot n^2 + 2nn^2 + 2n + 1 | &= |x| cdot limn to infty n^2 + 2nn^2 + 2n + 1 &= |x| cdot 1 &= |x|
Então, L = |x|.

Passo 5

Para que a série converja, segundo o Teste da Razão, precisamos que L < 1. Portanto:
|x| < 1
Isso significa que os valores de x para os quais a série converge estão entre -1 e 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 1.

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