Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série
converge de forma uniforme para todo
em
. Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass. Esse critério ajuda a gente a verificar a convergência uniforme comparando cada termo da série com uma sequência que sabemos que converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério M de Weierstrass. Ele diz que se existirem números
tais que
para todo
no domínio, e se a série
converge, então a série
converge uniformemente.
Passo 3
No nosso caso,
. Precisamos encontrar um
que seja maior ou igual a
para todo
.
Passo 4
Observando a função
, percebemos que, para qualquer
, o denominador
é sempre maior ou igual a
, já que
.
Então, temos:
Portanto, podemos escolher
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a série
converge. Essa é uma série p com
, que sabemos que converge porque
.
Passo 6
Como encontramos
tal que
para todo
e a série
converge, pelo Critério M de Weierstrass, a série original
converge de forma uniforme em
.
Resposta
A série
é uniformemente convergente em
pelo Critério M de Weierstrass.