Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
sumn=1^infty 1x^2+n^2 em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série converge de forma uniforme para todo em . Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass. Esse critério ajuda a gente a verificar a convergência uniforme comparando cada termo da série com uma sequência que sabemos que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério M de Weierstrass. Ele diz que se existirem números tais que para todo no domínio, e se a série converge, então a série converge uniformemente.

Passo 3

No nosso caso, . Precisamos encontrar um que seja maior ou igual a para todo .

Passo 4

Observando a função 1x^2+n^2 <= 1n^2 , percebemos que, para qualquer , o denominador é sempre maior ou igual a , já que .
Então, temos:
Portanto, podemos escolher .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a série converge. Essa é uma série p com , que sabemos que converge porque .

Passo 6

Como encontramos tal que para todo e a série converge, pelo Critério M de Weierstrass, a série original converge de forma uniforme em .

Resposta

A série é uniformemente convergente em pelo Critério M de Weierstrass.

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