Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir para quais valores de $ x $ a série infinita converge. Isso faz parte do estudo de intervalo de convergência de séries de potências. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão que nos ajuda a encontrar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que a série converge se o limite $ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 $. Vamos identificar $ a_n $ na nossa série:
Agora, vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Como vamos levar o módulo, o sinal negativo não importa:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L = limn to infty | x-12 | times n+1n+2 = | x-12 | times 1 = | x-12 |
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade:
| x-12 | < 1 implies -1 < x-12 < 1
Multiplicando tudo por 2:
-2 < x - 1 < 2
Somando 1 a todas as partes:
-1 < x < 3
Então, o intervalo preliminar de convergência é (-1, 3). Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais $ x = -1 $ e $ x = 3 $.
Passo 5
Para $ x = -1 $:
Substituindo na série:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para $ x = 3 $:
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada que satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, então converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é -1 < x <= 3.