Mostre que
parametriza a hipérbole
.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que as equações paramétricas
representam uma hipérbole dada por
Aqui, estamos lidando com o estudo de curvas no plano cartesiano, mais especificamente, com hipérboles. Para resolver isso, vamos substituir as expressões de
e
nas equações da hipérbole e verificar se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
- Seno hiperbólico:
- Cosseno hiperbólico:
Essas funções são usadas para parametrizar curvas hiperbólicas, de forma similar ao uso do seno e cosseno para parametrizar círculos.
Passo 3
Vamos substituir
e
na equação da hipérbole:
Passo 4
Simplificando as frações:
Passo 5
Agora, vamos usar uma identidade importante das funções hiperbólicas:
Essa identidade é semelhante à identidade trigonométrica
.
Passo 6
Aplicando a identidade, temos:
Portanto,
Resposta
Assim, mostramos que as equações paramétricas
e
realmente parametrizeiam a hipérbole
.