Mostre que
x=b sinh t, y=a cosh t
parametriza a hipérbole y^2a^2-x^2b^2=1.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que as equações paramétricas
x = b sinh t, y = a cosh t
representam uma hipérbole dada por
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, estamos lidando com o estudo de curvas no plano cartesiano, mais especificamente, com hipérboles. Para resolver isso, vamos substituir as expressões de e nas equações da hipérbole e verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções hiperbólicas:
  • Seno hiperbólico:
  • Cosseno hiperbólico:
Essas funções são usadas para parametrizar curvas hiperbólicas, de forma similar ao uso do seno e cosseno para parametrizar círculos.

Passo 3

Vamos substituir y^2a^2 - x^2b^2 = (a cosh t)^2a^2 - (b sinh t)^2b^2 e na equação da hipérbole:

Passo 4

Simplificando as frações:
a^2 cosh^2 ta^2 - b^2 sinh^2 tb^2 = cosh^2 t - sinh^2 t

Passo 5

Agora, vamos usar uma identidade importante das funções hiperbólicas:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Essa identidade é semelhante à identidade trigonométrica .

Passo 6

Aplicando a identidade, temos:
cosh^2 t - sinh^2 t = 1
Portanto,
y^2a^2 - x^2b^2 = 1

Resposta

Assim, mostramos que as equações paramétricas e realmente parametrizeiam a hipérbole .

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