Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
sumn=1^infty x^2 n3^n n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^2 n3^n n^2. Isso envolve entender sobre séries numéricas e usar o teste da razão para descobrir para quais valores de $ x $ a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é $ a_n = \frac{x{2n}}{3{n} n^{2}} $. O teste da razão vai nos ajudar a ver como o termo se comporta conforme $ n $ cresce, e assim determinar a convergência.

Passo 3

O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite $ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $. Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, ela diverge; e se $ L = 1 $, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série:
an+1an = x^2(n+1)3^n+1 (n+1)^2 cdot 3^n n^2x^2n = x^2 cdot n^23 cdot (n+1)^2

Passo 5

Agora calculamos o limite quando $ n $ vai para o infinito:
n

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
L < 1
Multiplicando ambos os lados por 3:
x^23 < 1

Passo 7

Resolvendo a inequação:
- raiz3 < x < raiz3

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) $.

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