Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série
. Isso envolve entender sobre séries numéricas e usar o teste da razão para descobrir para quais valores de $ x $ a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é $ a_n = \frac{x{2n}}{3{n} n^{2}} $. O teste da razão vai nos ajudar a ver como o termo se comporta conforme $ n $ cresce, e assim determinar a convergência.
Passo 3
O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite $ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $. Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, ela diverge; e se $ L = 1 $, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa série:
Passo 5
Agora calculamos o limite quando $ n $ vai para o infinito:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 7
Resolvendo a inequação:
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) $.