Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
1+sumn=1^infty x^n2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série 1 + sumn=1^infty x^n2n. Isso significa que queremos descobrir para quais valores de x essa série “funciona”, ou seja, para quais x a soma dos termos da série resulta em um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte infinita da série: sumn=1^infty x^n2n. Essa é uma série de potências, onde cada termo depende de x elevado a alguma potência. Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é uma ferramenta útil para determinar onde a série converge.

Passo 3

O Teste da Razão nos diz que, para uma série sum an, se o limite L = limn to infty | an+1an | é menor que 1, a série converge absolutamente. Se for maior que 1, a série diverge. E se for exatamente 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste na nossa série:
an = x^n2n
Então:
an+1an = x^n+12(n+1)x^n2n = x^n+1 cdot 2nx^n cdot 2(n+1) = x cdot nn+1
Simplificando:
| an+1an | = | x cdot nn+1 |

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | x cdot nn+1 | = |x| cdot limn to infty nn+1 = |x| cdot 1 = |x|
Então, o limite L = |x|.

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
  • Se L = |x| < 1, a série converge.
  • Se L = |x| > 1, a série diverge.
  • Se L = |x| = 1, o teste é inconclusivo e precisamos analisar separadamente.

Passo 7

Então, até aqui, sabemos que a série converge quando |x| < 1 e diverge quando |x| > 1. Vamos verificar o caso |x| = 1.

Passo 8

Quando |x| = 1, temos duas possibilidades: x = 1 e x = -1.
  • Para x = 1:
sumn=1^infty 1^n2n = sumn=1^infty 12n = 12 sumn=1^infty 1n
Sabemos que sum 1n é a série harmônica, que diverge.
  • Para x = -1:
sumn=1^infty (-1)^n2n = 12 sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada harmônica, que converge condicionalmente.

Passo 9

Resumindo:
  • A série converge para |x| < 1.
  • Para x = -1, a série também converge.
  • Para x = 1, a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 <= x < 1.

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