Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
sumn=0^infty (n+1)!(x-5)^n10^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir o intervalo de convergência dessa série:
sumn=0^infty (n+1)!(x-5)^n10^n
Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em Somas de Séries. Vamos usar o Teste da Razão para descobrir para quais valores de $ x $ essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se $ L < 1 $, a série converge absolutamente.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste não dá uma resposta definida.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Vamos identificar o $ a_n $ da série:
an
Agora, vamos calcular $ a_{n+1} $:
an = (n+1)! (x-5)^n10^n
Agora, montamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando $ n $ tende ao infinito:
n
Observamos que conforme $ n $ aumenta, o termo $ (n+2) $ também cresce sem limites. Isso significa que:
  • Se $ |x-5| > 0 $, o limite $ L $ vai para infinito, que é maior que 1.
  • Se $ |x-5| = 0 $, o limite $ L = 0 $, que é menor que 1.
Portanto, a condição para a série convergir é $ |x-5| = 0 $.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade $ |x-5| < \frac{10}{n+2} $ considerando o limite que fizemos:
Como $ n $ tende ao infinito, $ \frac{10}{n+2} $ tende a 0. Portanto, a única solução que satisfaz $ |x-5| = 0 $ é $ x = 5 $.

Resposta

A série converge apenas quando $ x = 5 $. Logo, o intervalo de convergência é $ {5} $.

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