Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a função de variável real x representada pela série de potências a partir de n=1:
. O assunto aqui é soma de séries de potências, usando soma de série geométrica e derivação de séries.
Passo 2
Primeiro, lembramos da soma da série geométrica para |x|<1:
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a x para obter uma série com termo n·x^{n-1}:
Multiplicando ambos os lados por x, temos a soma da série
:
Passo 3
Agora, observamos que
Substituindo as somas conhecidas:
Substituindo as somas conhecidas:
Passo 4
Por fim, colocamos em um único quociente e simplificamos: