Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas.
sumn=1^infty(n+1) x^n

Passo 1

O enunciado pede para identificar a função de variável real x representada pela série de potências a partir de n=1: sumn=1^infty(n+1)x^n. O assunto aqui é soma de séries de potências, usando soma de série geométrica e derivação de séries.

Passo 2

Primeiro, lembramos da soma da série geométrica para |x|<1:
sumn=0^inftyx^n=11-x
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a x para obter uma série com termo n·x^{n-1}:
ddxl(sumn=0^inftyx^nr)=sumn=1^inftyn x^n-1=ddxl(11-xr)=1(1-x)^2
Multiplicando ambos os lados por x, temos a soma da série sumn=1^inftyn x^n:
sumn=1^inftyn x^n=x(1-x)^2

Passo 3

Agora, observamos que
sumn=1^infty(n+1)x^n=x(1-x)^2+x1-x
Substituindo as somas conhecidas:

Passo 4

Por fim, colocamos em um único quociente e simplificamos:
x(1-x)^2+x1-x=x + x(1-x)(1-x)^2=2x - x^2(1-x)^2=x(2-x)(1-x)^2

Resposta

sumn=1^infty(n+1)x^n=x(2-x)(1-x)^2, |x|<1

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