Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o intervalo de convergência dessa série infinita:
Isso significa que a gente precisa descobrir para quais valores de $ x $ essa soma infinita vai “funcionar”, ou seja, vai dar um resultado finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica da Análise de Séries para verificar se uma série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
No Teste da Razão, a gente analisa o limite:
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os termos:
Dividindo as potências de $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Para simplificar o limite, dividimos numerador e denominador por $ n $:
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{10}{n} $ e $ \frac{8}{n} $ vão a zero:
Então, o limite $ L = |x|^{2} $.
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, para convergência, precisamos que:
Resolvendo a inequação:
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ -1 < x < 1 $.