Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
sumn=0^infty(2 n+8)^3 x^2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o intervalo de convergência dessa série infinita:
sumn=0^infty(2n + 8)^3 x^2n + 1
Isso significa que a gente precisa descobrir para quais valores de $ x $ essa soma infinita vai “funcionar”, ou seja, vai dar um resultado finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica da Análise de Séries para verificar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é:
an = (2n + 8)^3 x^2n + 1
No Teste da Razão, a gente analisa o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se $ L < 1 $, a série converge; se $ L > 1 $, diverge; e se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Simplificando os termos:
Dividindo as potências de $ x $:
an+1an

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando $ n $ tende ao infinito:
n
Para simplificar o limite, dividimos numerador e denominador por $ n $:
L = limn to infty | ( 2n + 102n + 8 )^3 x^2 |
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{10}{n} $ e $ \frac{8}{n} $ vão a zero:
n
Então, o limite $ L = |x|^{2} $.

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, para convergência, precisamos que:
L = |x|^2 < 1
Resolvendo a inequação:
|x|^2 < 1 Rightarrow |x| < 1

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ -1 < x < 1 $.

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