Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
sumn=0^infty raiz3^n(n+1)n^2+1 x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty raiz3^n(n+1)n^2+1 x^2n
Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge. Esse teste é super útil quando temos potências de $ n $ envolvidas, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do teste. O termo geral é:
an = raiz3^n(n+1)n^2+1 x^2n
Podemos reescrever $ \sqrt{3^{n}(n+1)} $ como $ 3^{n/2} \sqrt{n+1} $. Então, fica:
raiz3^n(n+1)
Isso ajuda a visualizar melhor os componentes que dependem de $ n $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série $ \sum a_n $ converge se:
sum an
Vamos calcular esse limite para o nosso caso:
limn to infty |an|^1/n < 1
Simplificando:
|an|^1/n = ( 3^n/2 raizn+1n^2 + 1 x^2n )^1/n
Quando $ n $ vai para o infinito:
  • $ (n+1)^{1/(2n)} $ tende para 1
  • $ (n^{2} + 1)^{-1/n} $ também tende para 1
Então, o limite simplifica para:
|an|^1/n = 3^1/2 |x|^2 cdot (n+1)^1/(2n) cdot (n^2 + 1)^-1/n

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que:
raiz3 |x|^2 < 1
Vamos resolver essa desigualdade para $ |x| $:
|x|
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
|x|^2 < 1raiz3

Passo 5

Portanto, o intervalo de convergência é o conjunto de todos os $ x $ que satisfazem:
x

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ \left( -\dfrac{1}{3^{1/4}}, \dfrac{1}{3^{1/4}} \right) $.

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