Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o intervalo de convergência da série
Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge. Esse teste é super útil quando temos potências de $ n $ envolvidas, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação do teste. O termo geral é:
Podemos reescrever $ \sqrt{3^{n}(n+1)} $ como $ 3^{n/2} \sqrt{n+1} $. Então, fica:
Isso ajuda a visualizar melhor os componentes que dependem de $ n $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste diz que a série $ \sum a_n $ converge se:
Vamos calcular esse limite para o nosso caso:
Simplificando:
Quando $ n $ vai para o infinito:
- $ (n+1)^{1/(2n)} $ tende para 1
- $ (n^{2} + 1)^{-1/n} $ também tende para 1
Então, o limite simplifica para:
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que:
Vamos resolver essa desigualdade para $ |x| $:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 5
Portanto, o intervalo de convergência é o conjunto de todos os $ x $ que satisfazem:
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ \left( -\dfrac{1}{3^{1/4}}, \dfrac{1}{3^{1/4}} \right) $.