Seja a função definida por . Verifique, pela definição formal, que é uma função contínua em todo ponto .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, pela definição formal de continuidade (ε–δ), que a função f: ℝ→ℝ dada por f(x)=|x| é contínua em qualquer ponto p∈ℝ. Vamos usar a definição de limite e a desigualdade triangular para valor absoluto.
Passo 2
A definição formal de continuidade em um ponto p é: dado qualquer ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que |x−p|<δ, temos |f(x)−f§|<ε.
Passo 3
No nosso caso f(x)=|x| e f§=|p|, então precisamos estimar
Pela desigualdade triangular para valor absoluto vale sempre
l||x|−|p|r| <= |x−p|
Para ver isso, basta aplicar a desigualdade triangular em x = (x−p)+p.
Passo 4
Logo, se escolhermos δ=ε, então sempre que |x−p|<δ teremos
|f(x)−f(p)| = l||x|−|p|r| <= |x−p| < δ = ε
Assim satisfazemos a condição da definição de continuidade.
Passo 5
Concluímos que, para qualquer ε>0, basta tomar δ=ε para garantir |f(x)−f§|<ε sempre que |x−p|<δ. Como p era arbitrário, f(x)=|x| é contínua em todo ℝ.
Resposta
A função f(x)=|x| é contínua em todo ponto pinR, pois dado qualquer varepsilon>0 podemos escolher de e usar a desigualdade l||x|-|p|r|<=|x-p| para satisfazer a definição formal de continuidade.