Seja a função f: R R definida por f(x)=|x|. Verifique, pela definição formal, que f é uma função contínua em todo ponto p in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição formal de continuidade (ε–δ), que a função f: ℝ→ℝ dada por f(x)=|x| é contínua em qualquer ponto p∈ℝ. Vamos usar a definição de limite e a desigualdade triangular para valor absoluto.

Passo 2

A definição formal de continuidade em um ponto p é: dado qualquer ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que |x−p|<δ, temos |f(x)−f§|<ε.

Passo 3

No nosso caso f(x)=|x| e f§=|p|, então precisamos estimar
|f(x)−f(p)| = l||x|−|p|r|
Pela desigualdade triangular para valor absoluto vale sempre
l||x|−|p|r| <= |x−p|
Para ver isso, basta aplicar a desigualdade triangular em x = (x−p)+p.

Passo 4

Logo, se escolhermos δ=ε, então sempre que |x−p|<δ teremos
|f(x)−f(p)| = l||x|−|p|r| <= |x−p| < δ = ε
Assim satisfazemos a condição da definição de continuidade.

Passo 5

Concluímos que, para qualquer ε>0, basta tomar δ=ε para garantir |f(x)−f§|<ε sempre que |x−p|<δ. Como p era arbitrário, f(x)=|x| é contínua em todo ℝ.

Resposta

A função f(x)=|x| é contínua em todo ponto pinR, pois dado qualquer varepsilon>0 podemos escolher de e usar a desigualdade l||x|-|p|r|<=|x-p| para satisfazer a definição formal de continuidade.

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