Resolva as seguintes equações diferenciais:
d yd x+yx=sen x

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem linear dydx + 1xy = sin x. Isso pertence ao conteúdo de EDOs lineares de primeira ordem e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Para usar o método do fator integrante, identificamos P(x)=tfrac1x. Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral 1xdx=e^ln|x|=x (considerando x>0 para simplificar).

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x:
xdydx+y = xsin x
Aqui o lado esquerdo é a derivada do produto x y, pois
ddxl(xyr)=xdydx+y

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(xy),dx = integral xsin x,dx
À direita, fazemos integração por partes: seja u=x e dv=sin x,dx, então du=dx e v=-cos x. Logo
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x + C
E à esquerda obtemos xy.

Passo 5

Isolamos y dividindo por x:
xy = -xcos x + sin x + C Longrightarrow y = -xcos x + sin x + Cx = -cos x + sin xx + Cx

Resposta

y(x) = -cos x + sin xx + Cx

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