Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa achar o intervalo de convergência da série
Isso faz parte do estudo de séries de potências e análise de convergência, usando métodos como o teste da razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para descobrir para quais valores de a série “fica de boa” e converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão para séries. Esse teste envolve calcular o limite
onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não dá resposta.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral an da nossa série:
an = (x-e)^n ln nn e^n
Agora, calculamos an+1: an+1 = (x-e)^n+1 ln (n+1)(n+1) e^n+1
Passo 4
Vamos montar a razão | an+1an |:
| an+1an | = | (x-e)^n+1 ln (n+1)(n+1) e^n+1 cdot n e^n(x-e)^n ln n |
Simplificando as potências e os termos: = | (x-e) cdot ln (n+1)ln n cdot nn+1 cdot 1e |
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite L:
L = limn to infty | (x-e) cdot ln (n+1)ln n cdot nn+1 cdot 1e |
Observando cada parte:
- ln (n+1)ln n to 1 quando n cresce.
- nn+1 to 1 quando n cresce.
Então, o limite fica: L = | (x-e)e |
Passo 6
Aplicando o teste da razão, queremos que L < 1 para a convergência:
-e < x - e < e
Adicionando e em todos os lados: 0 < x < 2e
Passo 7
Então, a série converge para valores de x no intervalo aberto 0 < x < 2e. Precisamos verificar o que acontece nos extremos x = 0 e x = 2e.
Passo 8
Para x = 0:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-e)^n ln nn e^n = sumn=1^infty (-1)^n ln nn
Essa série é alternada e satisfaz as condições do teste da série alternada (os termos diminuem e tendem a zero), então converge.
Para x = 2e:
Substituindo na série:
sumn=1^infty (e)^n ln nn e^n = sumn=1^infty ln nn
Essa série é a conhecida série harmônica logarítmica, que diverge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é 0 <= x < 2e.