Obtenha os desenvolvimentos indicados abaixo.
1x em potências de (x+1)
Sugestão: 1x=1(x+1)-1=-11-(x+1).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos expandir a função f(x)=1/x em torno de x=-1, ou seja, obter a série de potências em (x+1). O conteúdo é séries de potências e vamos precisar da fórmula da série geométrica no formato 1/(1-u)=sumn=0^inftyu^n, válida para |u|<1.

Passo 2

Fazendo a troca de variável t=x+1, temos x=t-1. Então
1x=1t-1=-11-t

Passo 3

Agora reconhecemos que 11-t é uma série geométrica em t. Pela fórmula
11-t=sumn=0^inftyt^npara |t|<1,
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1x=-sumn=0^inftyt^n=-sumn=0^infty(x+1)^n,

Passo 4

e a condição de convergência é |t|<1, ou seja, |x+1|<1.

Resposta

1x=-sumn=0^infty(x+1)^n, convergindo para |x+1|<1.

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