Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
sumn=2^infty x^nlog n

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita: sumn=2^infty x^nlog n. O objetivo é descobrir para quais valores de x essa série “vai” convergir, ou seja, para quais x a soma não fica infinita. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste olha para o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Então, vamos considerar o termo geral da nossa série: an = x^nlog n.
Vamos calcular limn to infty | an+1an |:
limn to infty | x^n+1log (n+1)x^nlog n | = limn to infty | x cdot log nlog (n+1) |

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão dentro do limite:
limn to infty |x| cdot log nlog (n+1)
Sabemos que, para n grande, log(n+1) é aproximadamente igual a log n, então:
log nlog (n+1) approx 1
Portanto, o limite fica:
limn to infty |x| cdot 1 = |x|

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
|x| < 1
Isso significa que a série converge para todos os x cujo valor absoluto é menor que 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 < x < 1.

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