Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
Passo 1
Resumindo: temos a EDO linear não homogênea
y'' + 2y' + 2y = h(t) com condições
y(0)=0 ,
y'(0)=1 e
$$h(t)=
h(t)=0,&0<= t=2pi .
$$
Vamos usar transformada de Laplace.
Vamos usar transformada de Laplace.
Passo 2
Aplicamos Laplace em cada termo:
$$\mathcal L{y}=Y(s).
$$
Passo 3
Igualando e usando
H(s)= Lh(t)=e^-pi s-e^-2pi ss , obtemos em bloco:
Isolando
$$Y(s)=\frac{1}{s2+2s+2}+\frac{e{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s(s^2+2s+2)},.
$$
Passo 4
Reconhecemos a parte homogênea
Yh(s)=1/(s^2+2s+2) e a parte particular
Yp(s)=(e^-pi s-e^-2pi s)/[s(s^2+2s+2)] . Sabemos que
$$y_h(t)=e^{-t}\sin t,.
$$
Passo 5
Para encontrar
g(t)= L^-11/[s(s^2+2s+2)] , fazemos frações parciais em
com
Passo 6
Invertendo cada termo:
$$g(t)=\tfrac12-\tfrac12e^{-t}\cos t-\tfrac12e^{-t}\sin t,.
$$
Passo 7
Usamos o teorema do deslocamento: a contribuição forçada é
onde
Passo 8
Portanto a solução completa é
$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e^{-(t-\pi)}[\cos(t-\pi)+\sin(t-\pi)]\Bigr)
-u(t-2\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e^{-(t-2\pi)}[\cos(t-2\pi)+\sin(t-2\pi)]\Bigr),.$$
Resposta
$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e{-(t-\pi)}[\cos(t-\pi)+\sin(t-\pi)]\Bigr)-u(t-2\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e{-(t-2\pi)}[\cos(t-2\pi)+\sin(t-2\pi)]\Bigr),.
$$