Encontre a solução da EDO com condições iniciais. y^prime prime+2 y^prime+2 y=h(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; h(t)= 0, & 0 <= t= 2 pi

Passo 1

Resumindo: temos a EDO linear não homogênea y'' + 2y' + 2y = h(t) com condições y(0)=0, y'(0)=1 e
$$h(t)= h(t)=0,&0<= t=2pi .
$$
Vamos usar transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos Laplace em cada termo:
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^2Y(s)-1,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s),
$$\mathcal L{y}=Y(s).
$$

Passo 3

Igualando e usando H(s)= Lh(t)=e^-pi s-e^-2pi ss, obtemos em bloco:
s^2Y(s)-1+2sY(s)+2Y(s)=e^-pi s-e^-2pi ss.
Isolando Y(s):
$$Y(s)=\frac{1}{s2+2s+2}+\frac{e{-\pi s}-e^{-2\pi s}}{s(s^2+2s+2)},.
$$

Passo 4

Reconhecemos a parte homogênea Yh(s)=1/(s^2+2s+2) e a parte particular Yp(s)=(e^-pi s-e^-2pi s)/[s(s^2+2s+2)]. Sabemos que
$$y_h(t)=e^{-t}\sin t,.
$$

Passo 5

Para encontrar g(t)= L^-11/[s(s^2+2s+2)], fazemos frações parciais em
1s((s+1)^2+1)=As+Bs+C(s+1)^2+1
com A=1/2, B=-1/2, C=-1.

Passo 6

Invertendo cada termo:
$$g(t)=\tfrac12-\tfrac12e^{-t}\cos t-\tfrac12e^{-t}\sin t,.
$$

Passo 7

Usamos o teorema do deslocamento: a contribuição forçada é
yp(t)=u(t-pi),g(t-pi)-u(t-2pi),g(t-2pi),
onde u é a função degrau de Heaviside.

Passo 8

Portanto a solução completa é
$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e^{-(t-\pi)}[\cos(t-\pi)+\sin(t-\pi)]\Bigr)
-u(t-2\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e^{-(t-2\pi)}[\cos(t-2\pi)+\sin(t-2\pi)]\Bigr),.$$

Resposta

$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e{-(t-\pi)}[\cos(t-\pi)+\sin(t-\pi)]\Bigr)-u(t-2\pi)\Bigl(\tfrac12-\tfrac12e{-(t-2\pi)}[\cos(t-2\pi)+\sin(t-2\pi)]\Bigr),.
$$

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