Expanda as funções abaixo em séries de potências de (x-a).
f(x)=ln (x+2), a=1.

Passo 1

No enunciado, a gente precisa expandir em série de potências de (x-1) a função f(x)=ln(x+2). O conteúdo envolve série de Taylor extraída da expansão de ln(1+u) em torno de u=0.

Passo 2

Definimos t = x-1 para simplificar as expressões. Então x+2 = 3 + t.

Passo 3

Fatoramos 3 dentro do logaritmo: ln(x+2) = ln(3+t) = lnl(3l(1 + tfract3r)r) = ln 3 + lnl(1 + tfract3r).

Passo 4

Usamos a série de Taylor de ln(1+u):
[\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}], válida para |u|<1. Aqui u = tfract3 = tfracx-13.

Passo 5

Substituindo u=tfracx-13 na série, chegamos a:
[\ln(x+2) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} \bigl(\tfrac{x-1}{3}\bigr)^n].

Passo 6

Determinamos o raio de convergência usando |u|<1: |tfracx-13|<1 |x-1|<3.

Resposta

[\ln(x+2) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(x-1)n}{n,3n}, \quad |x-1|<3.]

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