Expanda as funções abaixo em séries de potências de
.
.
Passo 1
No enunciado, a gente precisa expandir em série de potências de (x-1) a função
. O conteúdo envolve série de Taylor extraída da expansão de
em torno de
.
Passo 2
Definimos
para simplificar as expressões. Então
.
Passo 3
Fatoramos 3 dentro do logaritmo:
.
Passo 4
Usamos a série de Taylor de
:
[\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}], válida para . Aqui
.
[\ln(1+u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{u^n}{n}], válida para
Passo 5
Substituindo
na série, chegamos a:
[\ln(x+2) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} \bigl(\tfrac{x-1}{3}\bigr)^n].
[\ln(x+2) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} \bigl(\tfrac{x-1}{3}\bigr)^n].
Passo 6
Determinamos o raio de convergência usando
:
⇒
.
Resposta
[\ln(x+2) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(x-1)n}{n,3n}, \quad |x-1|<3.]