Mostre que sumn=1^infty n2^n=2
Sugestão: Considere o desenvolvimento, em potências de x, de x f^prime, onde f=(1-x)^-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série sumn=1^infty n2^n e sugere usar o desenvolvimento em potências de x f'(x), onde f(x)=(1-x)^-1. O conteúdo principal é séries de potências, a série geométrica e sua diferenciação.

Passo 2

Para começar, lembramos que para |x|<1 temos a série geométrica
f(x)=11-x=sumn=0^inftyx^n
Essa expressão vale porque somamos infinitos termos de uma progressão geométrica.

Passo 3

Agora, podemos diferenciar membro a membro a série acima com respeito a x, já que a convergência é uniforme em qualquer intervalo fechado dentro de (-1,1). Ao derivar temos
f'(x)=ddxl((1-x)^-1r)=1(1-x)^2
é
f'(x)=sumn=1^inftyn,x^n-1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x para obter a série na forma sum n x^n:
x f'(x)=xsumn=1^inftyn,x^n-1=sumn=1^inftyn,x^n
e ao mesmo tempo
x f'(x)=x(1-x)^2

Passo 5

Para encontrar sumn=1^inftyn2^n, basta escolher x=tfrac12 (que está dentro do raio de convergência):
sumn=1^inftyn2^n=sumn=1^inftynl(12r)^n=tfrac12(1-tfrac12)^2=1/2(1/2)^2=2

Resposta

2

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