Mostre que
Sugestão: Considere o desenvolvimento, em potências de
, de
, onde
.
Sugestão: Considere o desenvolvimento, em potências de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série
e sugere usar o desenvolvimento em potências de
, onde
. O conteúdo principal é séries de potências, a série geométrica e sua diferenciação.
Passo 2
Para começar, lembramos que para
temos a série geométrica
Essa expressão vale porque somamos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Passo 3
Agora, podemos diferenciar membro a membro a série acima com respeito a
, já que a convergência é uniforme em qualquer intervalo fechado dentro de
. Ao derivar temos
é
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para obter a série na forma
:
e ao mesmo tempo
Passo 5
Para encontrar
, basta escolher
(que está dentro do raio de convergência):
Resposta
2