Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo:
sumn=0^infty (2 x+3)^n5^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é determinar o intervalo de convergência da série infinita sumn=0^infty (2 x+3)^n5^2 n. Esse problema está ligado ao estudo de séries e convergência, que são tópicos fundamentais em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o teste da razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de $ x $ a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série e o que significa ela convergir. Uma série é a soma de termos infinitos, e dizemos que ela converge se a soma chega a um valor finito. Para descobrir se a nossa série converge, vamos usar o teste da razão. Esse teste diz que, se o limite do valor absoluto da razão entre o termo $ n+1 $ e o termo $ n $ for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão na nossa série:
limn to infty | an+1an |
Aqui, $ a_n = \frac{(2x + 3)n}{5{2n}} $. Então, $ a_{n+1} = \frac{(2x + 3){n+1}}{5{2(n+1)}} $.

Passo 4

Vamos calcular a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an

Passo 5

Agora, aplicamos o limite:
limn to infty | an+1an | = | 2x + 325 |
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| 2x + 325 | < 1

Passo 6

Vamos resolver a desigualdade:
| 2x + 3 | < 25
Isso significa que:
-25 < 2x + 3 < 25
Agora, subtraímos 3 de todos os lados:
-28 < 2x < 22
E, finalmente, dividimos por 2:
-14 < x < 11

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ -14 < x < 11 $.

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