Obtenha a série de potências de
para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de potências de $ x $ para a função $ \frac{1}{x^{2} - 3x + 2} $. Isso envolve Álgebra e Cálculo, especificamente a expansão em série de potências. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais e séries geométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \frac{1}{x^{2} - 3x + 2} $ fazendo a fatoração do denominador. O denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado da seguinte forma:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos encontrar números $ A $ e $ B $ tais que:
Multiplicando ambos os lados por $ (x - 1)(x - 2) $, temos:
Passo 4
Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação. Se $ x = 2 $:
Agora, se $ x = 1 $:
Então, as frações parciais são:
Passo 5
Agora, vamos reescrever cada termo para facilitar a expansão em série de potências. Queremos expressar as frações na forma $ \frac{1}{1 - y} $, que sabemos que se expande como uma série geométrica:
Para isso, ajustamos as frações:
Passo 6
Agora, aplicamos a série geométrica a cada termo:
Para $ -\frac{1}{1 - x} $:
Para $ \frac{1}{2(1 - \frac{x}{2})} $:
Passo 7
Agora, juntamos as duas séries:
Simplificando termo a termo:
Resposta
A série de potências de $ x $ para $ \frac{1}{x^{2} - 3x + 2} $ é: