Obtenha a série de potências de x para:
1x^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de potências de $ x $ para a função $ \frac{1}{x^{2} - 3x + 2} $. Isso envolve Álgebra e Cálculo, especificamente a expansão em série de potências. Vamos precisar usar decomposição em frações parciais e séries geométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \frac{1}{x^{2} - 3x + 2} $ fazendo a fatoração do denominador. O denominador é um polinômio quadrático que pode ser fatorado da seguinte forma:
1x^2 - 3x + 2
Então, a expressão fica:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Queremos encontrar números $ A $ e $ B $ tais que:
A
Multiplicando ambos os lados por $ (x - 1)(x - 2) $, temos:
B

Passo 4

Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, podemos escolher valores de $ x $ que simplifiquem a equação. Se $ x = 2 $:
A
B
x
Agora, se $ x = 1 $:
x = 2
1 = A(2 - 2) + B(2 - 1)
1 = 0 + B(1)
Então, as frações parciais são:
B = 1

Passo 5

Agora, vamos reescrever cada termo para facilitar a expansão em série de potências. Queremos expressar as frações na forma $ \frac{1}{1 - y} $, que sabemos que se expande como uma série geométrica:
11 - y
Para isso, ajustamos as frações:
11 - y = 1 + y + y^2 + y^3 + cdots
-1x - 1 = -11 - x

Passo 6

Agora, aplicamos a série geométrica a cada termo:
Para $ -\frac{1}{1 - x} $:
-11 - x
Para $ \frac{1}{2(1 - \frac{x}{2})} $:
-11 - x = -(1 + x + x^2 + x^3 + cdots)
12(1 - x2)

Passo 7

Agora, juntamos as duas séries:
-(1 + x + x^2 + x^3 + cdots) + (12 + x4 + x^28 + x^316 + cdots)
Simplificando termo a termo:
-1 + 12 + (-x + x4) + (-x^2 + x^28) + (-x^3 + x^316) + cdots
= -12 - 3x4 - 7x^28 - 15x^316 - cdots

Resposta

A série de potências de $ x $ para $ \frac{1}{x^{2} - 3x + 2} $ é:
x

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