Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
Temos a série de potência centrada em
dada por
O conteúdo é teste de convergência de séries de potência, e vamos precisar usar o teste da raiz (ou razão) para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Fazemos a mudança de variável
de modo que o termo geral da série se reescreve como
Passo 3
Aplicamos o teste da raiz: calculamos
Para convergência é necessário que esse limite seja menor que
1 , ou seja
Passo 4
Da desigualdade
|y|6<1 obtemos
Passo 5
Voltando à variável
x , temos
y=(x-4)^1/3 , então
Passo 6
Faltam testar os extremos
x-4=pm216 , isto é
y=pm6 . Nesse caso o termo geral vale
cuja sequência de termos não tende a zero, logo a série diverge em
x=4pm216 .
Resposta
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é