Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty n+16^n(x-4)^n3

Passo 1

Temos a série de potência centrada em x=4 dada por
sumn=1^infty n+16^n(x-4)^n3
O conteúdo é teste de convergência de séries de potência, e vamos precisar usar o teste da raiz (ou razão) para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
y = (x-4)^tfrac13,
de modo que o termo geral da série se reescreve como
an,y^n onde an = n+16^n

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz: calculamos
limsupntoinftyraiz[n]l|an,y^nr| =limsupntoinftyl(n+16^nr)^!1/n,l|yr| =16,l|yr|
Para convergência é necessário que esse limite seja menor que 1, ou seja
|y|6<1

Passo 4

Da desigualdade |y|6<1 obtemos
|y|<6

Passo 5

Voltando à variável x, temos y=(x-4)^1/3, então
l|(x-4)^tfrac13r|<6 Longrightarrow |x-4|<6^3=216

Passo 6

Faltam testar os extremos x-4=pm216, isto é y=pm6. Nesse caso o termo geral vale
an,y^n = n+16^n,(pm6)^n = (pm1)^n,(n+1),
cuja sequência de termos não tende a zero, logo a série diverge em x=4pm216.

Resposta

O intervalo de convergência é
(4-216,;4+216)=(-212,;220),
e o raio de convergência é
R = 216

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