Estude a diferenciabilidade de f: R^2 R :
f(x, y)=raiz|x y|.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=raizlvert x,yrvert
O conteúdo é diferenciabilidade em várias variáveis. Vamos usar a regra da cadeia para mostrar diferenciabilidade onde o produto xy não se anula e o teste pelo limite para os pontos em que xy=0.

Passo 2

Suponha (x0,y0) tal que x0y0neq0. Então numa vizinhança de (x0,y0) o sinal de xy é constante.
  • Se x0y0>0, então lvert xyrvert=xy e f(x,y)=raizxy=(xy)^1/2, composição de funções (x,y)mapsto xy e tmapsto t^1/2, ambas diferenciáveis onde t>0.
  • Se x0y0<0, então lvert xyrvert=-xy e f(x,y)=raiz-,xy=(-xy)^1/2, outra composição diferenciável onde -xy>0.
    Pelo teorema da cadeia, f é diferenciável em todo ponto com xyneq0.

Passo 3

Considere um ponto sobre um eixo mas não na origem, por exemplo (a,0) com aneq0.
Vamos calcular a derivada parcial em y:
partial fpartial y(a,0) =limkto0f(a,k)-f(a,0)k =limkto0raizlvert a,krvertk =limkto0raizlvert arvert,raizlvert krvertk
Em módulo isso vale raizlvert arvert/raizlvert krvert, que diverge quando kto0. Logo essa derivada parcial não existe e, portanto, f não é diferenciável em (a,0). De modo análogo, pontos do tipo (0,b) com bneq0 também não são diferenciáveis.

Passo 4

Agora em (0,0) temos f(0,0)=0. Se existisse diferencial linear, seria a aplicação nula, pois as derivadas parciais (quando finitas) apontariam para zero. Mas pelo teste
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-0raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0)raizlvert h,krvertraizh^2+k^2,
tomando h=k obtém-se
lvert krvertraiz2,k^2=1raiz2neq0
Como esse limite não é zero, falha a condição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

A função f(x,y)=raizlvert x,yrvert é diferenciável exatamente nos pontos onde ;x,yneq0, e deixa de ser diferenciável sobre os eixos xy=0, inclusive na origem.

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