Estude a diferenciabilidade de
:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
O conteúdo é diferenciabilidade em várias variáveis. Vamos usar a regra da cadeia para mostrar diferenciabilidade onde o produto
não se anula e o teste pelo limite para os pontos em que
.
Passo 2
Suponha
tal que
. Então numa vizinhança de
o sinal de
é constante.
- Se
, então e composição de funções e , ambas diferenciáveis onde . - Se
, então e outra composição diferenciável onde .
Pelo teorema da cadeia,é diferenciável em todo ponto com .
Passo 3
Considere um ponto sobre um eixo mas não na origem, por exemplo
com
.
Vamos calcular a derivada parcial em :
Vamos calcular a derivada parcial em
Em módulo isso vale
, que diverge quando
. Logo essa derivada parcial não existe e, portanto,
não é diferenciável em
. De modo análogo, pontos do tipo
com
também não são diferenciáveis.
Passo 4
Agora em
temos
. Se existisse diferencial linear, seria a aplicação nula, pois as derivadas parciais (quando finitas) apontariam para zero. Mas pelo teste
tomando
obtém-se
Como esse limite não é zero, falha a condição de diferenciabilidade em
.
Resposta
A função
é diferenciável exatamente nos pontos onde
, e deixa de ser diferenciável sobre os eixos
, inclusive na origem.