Questão 4 (3.0 pts) Calcule a integral tripla integralW f d V, onde f=f(x, y, z) e W são:
f(x, y, z)=1, W é a região limitada por: x=4-y^2, y=z, x=0 e z >= 0;

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de f(x,y,z)=1 sobre a região W limitada por
x = 4 - y^2, x = 0, y = z, z >= 0
O que precisamos é calcular o volume de W usando coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para entender a região W, note que
  1. As superfícies x=0 e x=4-y^2 implicam
0 <= x <= 4 - y^2
  1. A superfície y=z e a condição z>=0 indicam que, para cada y,
0 <= z <= y
  1. Da desigualdade 4 - y^2 >= 0 segue -2 <= y <= 2, mas como z>=0 e z<= y, precisamos de y>=0. Logo
0 <= y <= 2

Passo 3

Montamos então a integral tripla em ordem x, z, y:
integralW1,dV =integraly=0^2integralz=0^yintegralx=0^4-y^21;dx;dz;dy

Passo 4

Calculemos passo a passo:
  1. Integral em x:
integralx=0^4-y^21,dx = 4 - y^2
  1. Integral em z:
integralz=0^y(4 - y^2),dz = (4 - y^2),y = 4y - y^3
  1. Integral em y:
integraly=0^2(4y - y^3),dy =l[2y^2 - tfrac14y^4r]0^2 =2cdot4 - tfrac14cdot16 =8 - 4 =4

Resposta

O valor da integral tripla é 4.

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