Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty (x+1)^2 nraizn

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em -1:
sumn=1^infty (x+1)^2nraizn
O conteúdo principal aqui é determinar para quais x essa série converge e usar o teste da raiz (ou fórmulas de raio de convergência) para séries de potências.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz à sequência de termos
an(x) = (x+1)^2nraizn
Calculamos
limntoinftyraiz[n]l|an(x)r| =limntoinftyraiz[n]|x+1|^2nraizn =limntoinfty|x+1|^2n^1/(2n) =|x+1|^2,
pois n^1/(2n)to1 quando ntoinfty.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se
|x+1|^2<1 Long<=ftrightarrow |x+1|<1
Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 4

Precisamos verificar o comportamento nos extremos x+1=pm1:
  1. Se x+1=-1 (isto é, x=-2), cada termo vira tfrac(-1)^2nraizn=tfrac1raizn e a série sum1/raizn diverge (série p-com p=tfrac12<=1).
  2. Se x+1=1 (isto é, x=0), cada termo é tfrac1raizn de novo, e também diverge.
Portanto, em ambos os extremos não há convergência.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-2,,0)

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