Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potências centrada em :
O conteúdo principal aqui é determinar para quais essa série converge e usar o teste da raiz (ou fórmulas de raio de convergência) para séries de potências.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz à sequência de termos
Calculamos
pois n^1/(2n)to1 quando ntoinfty.
Passo 3
Pelo teste da raiz, a série converge se
|x+1|^2<1 Long<=ftrightarrow |x+1|<1
Logo o raio de convergência é
R=1
Passo 4
Precisamos verificar o comportamento nos extremosx+1=pm1:
Se x+1=-1 (isto é, x=-2), cada termo vira tfrac(-1)^2nraizn=tfrac1raizn e a série sum1/raizn diverge (série p-com p=tfrac12<=1).
Se x+1=1 (isto é, x=0), cada termo é tfrac1raizn de novo, e também diverge.
Portanto, em ambos os extremos não há convergência.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é