Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potência centrada em
:
e pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência. Vamos usar o Teste da Razão para séries de potência, que diz que
onde
an = 10^n(3n+1)! é o coeficiente do termo
(x-3)^n .
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
Como
segue
Multiplicando pelo fator
lvert x-3rvert que vem do termo
(x-3)^n+1/(x-3)^n , obtemos o quociente do Teste da Razão:
Passo 3
Agora tomamos o limite quando
ntoinfty :
Como o denominador cresce como
27,n^3 , esse limite vale
Passo 4
O Teste da Razão diz que a série converge se
L<1 . Aqui
L=0<1 sempre, independentemente de
lvert x-3rvert . Logo o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é toda a reta real:
Resposta
Raio de convergência:
R = infty .
Intervalo de convergência:(-infty,infty) .
Intervalo de convergência: