Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty 10^n(3 n+1)!(x-3)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência centrada em x0=3:
sumn=1^infty 10^n(3n+1)!(x-3)^n
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o Teste da Razão para séries de potência, que diz que
R = 1limntoinfty l|an+1/anr|,
onde an = 10^n(3n+1)! é o coeficiente do termo (x-3)^n.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão, calculando
l|an+1/anr| = 10^n+1(3(n+1)+1)! 10^n(3n+1)! = 10 ,(3n+1)!(3n+4)!
Como
(3n+4)! = (3n+4)(3n+3)(3n+2),(3n+1)!,
segue
l|an+1/anr| = 10(3n+4)(3n+3)(3n+2)
Multiplicando pelo fator lvert x-3rvert que vem do termo (x-3)^n+1/(x-3)^n, obtemos o quociente do Teste da Razão:
Ln = l|an+1/anr|;lvert x-3rvert = 10,lvert x-3rvert(3n+4)(3n+3)(3n+2)

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty Ln = limntoinfty 10,lvert x-3rvert(3n+4)(3n+3)(3n+2)
Como o denominador cresce como 27,n^3, esse limite vale
L = 0 para todo (x) finito

Passo 4

O Teste da Razão diz que a série converge se L<1. Aqui L=0<1 sempre, independentemente de lvert x-3rvert. Logo o raio de convergência é
R = infty,
e o intervalo de convergência é toda a reta real:
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R = infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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