Estude a diferenciabilidade de
:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
O conteúdo é diferenciabilidade em multivariáveis. Vamos usar que
é composição de
com
e também o teste direto pelo limite para pontos críticos.
Passo 2
Se
, então
e
é diferenciável em
(pois fora de zero
tem derivada ). Como
é bilinear (logo
), pela regra da cadeia
é diferenciável sempre que
.
Além disso, os parciais são
Além disso, os parciais são
para todo
com
.
Passo 3
No ponto
temos
pela desigualdade aritmético–geométrica. Logo
Isso mostra que o diferencial em
existe e vale o funcional linear zero, ou seja,
é diferenciável em
.
Passo 4
Agora considere um ponto
com
(o caso
é análogo). Então
para todo
, de modo que
Porém
não existe porque o limite pela direita é
e pela esquerda é
. Logo
não tem derivada parcial em
e não pode ser diferenciável em
. Mesma conclusão em
com
.
Resposta
A função
é diferenciável exatamente nos pontos onde
(quatro quadrantes) e também em
. Não é diferenciável em nenhum outro ponto dos eixos coordenados (isto é, para
ou
com valor não nulo).