Estude a diferenciabilidade de f: R^2 R :
f(x, y)=|x y|.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diferenciabilidade da função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=|x,y|
O conteúdo é diferenciabilidade em multivariáveis. Vamos usar que f é composição de
u(x,y)=x,y
com
g(t)=|t|,
e também o teste direto pelo limite para pontos críticos.

Passo 2

Se , então e é diferenciável em (pois fora de zero tem derivada ). Como é bilinear (logo ), pela regra da cadeia é diferenciável sempre que .
Além disso, os parciais são
para todo com .

Passo 3

No ponto (0,0) temos
f(h,k)=|h,k|<= h^2 + k^22
pela desigualdade aritmético–geométrica. Logo
|f(h,k)-f(0,0)-0cdot h-0cdot k|raizh^2+k^2 =|h,k|raizh^2+k^2 <= h^2+k^22raizh^2+k^2 =raizh^2+k^22 to0 (h,k)to(0,0)
Isso mostra que o diferencial em (0,0) existe e vale o funcional linear zero, ou seja, f é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Agora considere um ponto com (o caso é análogo). Então para todo , de modo que
Porém
não existe porque o limite pela direita é e pela esquerda é . Logo não tem derivada parcial em e não pode ser diferenciável em . Mesma conclusão em com .

Resposta

A função f(x,y)=|x,y| é diferenciável exatamente nos pontos onde x,yneq0 (quatro quadrantes) e também em (0,0). Não é diferenciável em nenhum outro ponto dos eixos coordenados (isto é, para (x,0) ou (0,y) com valor não nulo).

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