Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty(-1)^n e^nn^n(x+6)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^ne^nn^n(x+6)^n.
Estamos no tema de séries de potências e vamos usar o teste da raiz para determinar onde ela converge.

Passo 2

Escrevendo a série na forma
sumn=1^inftyan,(x+6)^n
temos
an = (-1)^ne^nn^n
Pelo teste da raiz, devemos calcular
L ;=;limsupntoinftyraiz[n]l|an,(x+6)^nr|,

Passo 3

Primeiro note que
raiz[n]l|an,(x+6)^nr| =raiz[n]e^nn^n,l|x+6r|^n =en,l|x+6r|
Logo
L =limntoinftyen,l|x+6r| =0

Passo 4

Como L=0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente para qualquer x.
Isto implica que o raio de convergência é
R=+infty,
e o intervalo de convergência é
(-infty,infty)

Resposta

(-infty,infty)
R=+infty

Exercícios relacionados