Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(c) d yd t=3 t^2+4 t+22(y-1)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydt = 3t^2 + 4t + 22(y - 1)
e pede a solução geral. Esse é um caso de equação separável, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro. Para resolver vamos:
  1. separar variáveis;
  2. integrar ambos os lados;
  3. reorganizar para obter a solução geral.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por 2(y-1),dt:
2(y - 1),dy = l(3t^2 + 4t + 2r),dt

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral 2(y - 1),dy = integral l(3t^2 + 4t + 2r),dt
No lado esquerdo:
integral 2(y - 1),dy = 2integral (y - 1),dy = 2gl(y^22 - ygr) = y^2 - 2y
No lado direito:
integral l(3t^2 + 4t + 2r),dt = integral 3t^2,dt + integral 4t,dt + integral 2,dt = t^3 + 2t^2 + 2t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as duas partes obtemos a solução implícita:
y^2 - 2y = t^3 + 2t^2 + 2t + C
Para deixá-la em forma mais explícita, completamos o quadrado em y:
(y - 1)^2 - 1 = t^3 + 2t^2 + 2t + C Longrightarrow (y - 1)^2 = t^3 + 2t^2 + 2t + C + 1
Renomeando C + 1 por uma nova constante K, temos
(y - 1)^2 = t^3 + 2t^2 + 2t + K

Resposta

A solução geral é
y(t) = 1 pm raiz,t^3 + 2t^2 + 2t + K,,
onde K é a constante arbitrária de integração.

Exercícios relacionados