2 Calcule
integralS 1raiz1+4 x^2+4 y^2 d S, onde S é a parte da superfície
z=1-x^2-y^2 que se encontra dentro do cilindro de equação
x^2+y^2=2 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS1raiz1+4x^2+4y^2,dS
onde S é a parte da superfície
z=1 - x^2 - y^2
que fica dentro do cilindro de equação
x^2+y^2=2y
O conteúdo aqui é integral de superfície via projeção no plano xy. Vamos usar a fórmula
dS = raiz1 + l(zxr)^2 + l(zyr)^2,dx,dy
para transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre a projeção D de S no plano xy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
z = 1 - x^2 - y^2
Temos
zx = partialpartial x(1 - x^2 - y^2) = -2x, zy = partialpartial y(1 - x^2 - y^2) = -2y
Logo
raiz1 + (zx)^2 + (zy)^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2

Passo 3

Substituindo em dS e no integrando, obtemos
1raiz1+4x^2+4y^2,dS = 1raiz1+4x^2+4y^2 ;raiz1+4x^2+4y^2;dx,dy = dx,dy
Portanto a integral de superfície cai numa integral de área simples sobre a região D:
integral duplaS1raiz1+4x^2+4y^2,dS = integral duplaD1,dx,dy = Área(D) Á

Passo 4

A região D é dada pela projeção do cilindro
x^2+y^2=2y
no plano xy. Reescrevendo,
x^2 + y^2 - 2y = 0 Longrightarrow x^2 + (y-1)^2 = 1,
que é o disco de raio 1 centrado em (0,1). A área desse disco é
Área(D) = pi cdot 1^2 = pi Á

Resposta

pi

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