Exercício 6 (ELJ 44)
Dê o maior subconjunto de
R^2 onde f é de classe C^1 mas não é de classe C^2 :
f(x, y)=raiz|x y|.

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de R^2 em que
  1. f(x,y)=raizlvert x,yrvert é de classe C^1;
  2. mas não é de classe C^2.
    Para resolver, vamos usar que se uma função unidimensional g(u)=raizlvert urvert é C^1 apenas para uneq0 e ali é mesmo C^2, e compor com a função suave h(x,y)=x,y.

Passo 2

Analisando primeiro a diferenciabilidade de f:
– Se x,yneq0, então u=h(x,y)=x,yneq0, e como g é C^1 (mesmo C^2) em uneq0 e h é C^infty, a composição f=gcirc h é C^infty naquele ponto.
– Se x,y=0, ou seja, em qualquer ponto da reta x=0 ou y=0, verifica-se que pelo menos uma das derivadas parciais de f falha em existir (elas tendem a infinito), logo f não é nem C^1 ali.

Passo 3

Concluímos que o domínio de classe C^1 de f é exatamente
(x,y)inR^2mid x,yneq0,
e nesse mesmo conjunto f é ainda C^2 (na verdade C^infty).

Passo 4

Não existe, portanto, nenhum subconjunto não-vazio em que f seja C^1 mas deixe de ser C^2: em toda a região onde f é C^1 ela já é C^2.

Resposta

O maior subconjunto de R^2 onde f é de classe C^1 mas não de classe C^2 é o conjunto vazio, isto é, não há ponto em que f seja C^1 sem também ser C^2.

Exercícios relacionados