Exercício 6 (ELJ 44)
Dê o maior subconjunto de
onde
é de classe
mas não é de classe
:
.
Dê o maior subconjunto de
Passo 1
O enunciado pede o maior subconjunto de
em que
-
é de classe ; - mas não é de classe
.
Para resolver, vamos usar que se uma função unidimensionalé apenas para e ali é mesmo , e compor com a função suave .
Passo 2
Analisando primeiro a diferenciabilidade de
:
– Se , então
, e como
é
(mesmo
) em
e
é
, a composição
é
naquele ponto.
– Se , ou seja, em qualquer ponto da reta
ou
, verifica-se que pelo menos uma das derivadas parciais de
falha em existir (elas tendem a infinito), logo
não é nem
ali.
– Se
– Se
Passo 3
Concluímos que o domínio de classe
de
é exatamente
e nesse mesmo conjunto
é ainda
(na verdade
).
Passo 4
Não existe, portanto, nenhum subconjunto não-vazio em que
seja
mas deixe de ser
: em toda a região onde
é
ela já é
.
Resposta
O maior subconjunto de
onde
é de classe
mas não de classe
é o conjunto vazio, isto é, não há ponto em que
seja
sem também ser
.