Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty (n+1)n!(x-2)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potência centrada em x=2:
sumn=1^infty (n+1)n!(x-2)^n
Vamos usar o Critério da Razão para séries de potências.

Passo 2

Chamando
an = n+1n!(x-2)^n,
calculamos
|an+1an| =(n+2)(n+1)!,|x-2|^,n+1(n+1)n!,|x-2|^n =n+2(n+1)!cdotn!,n+1,;|x-2| =n+2(n+1)^2;|x-2|
Para ntoinfty, temos
limntoinftyn+2(n+1)^2;|x-2| =0cdot|x-2|=0

Passo 3

O limite da razão é 0, que é menor que 1 para todo valor de x. Assim, pela razão, a série converge absolutamente para todo xinR.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty) e o raio de convergência é R=infty.

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