integral sen(x4) cos (3 x4) d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral
integral sen!l(tfracx4r),cos!l(tfrac3x4r),dx
O conteúdo principal é usar a identidade de produto para transformar sen Acos B em soma de senos, facilitando a integração.

Passo 2

Recordamos a identidade de produto para senos e cossenos:
sen Acos B = tfrac12l[sen(A+B) + sen(A-B)r]

Passo 3

Aplicando com A=tfracx4 e B=tfrac3x4, temos
sen!l(tfracx4r)cos!l(tfrac3x4r) = tfrac12l[sen(x) + sen!l(tfracx4-tfrac3x4r)r] = tfrac12l[sen x + sen!l(-tfracx2r)r] = tfrac12l[sen x - sen!l(tfracx2r)r]

Passo 4

Substituindo na integral e separando termos,
integral sen!l(tfracx4r)cos!l(tfrac3x4r),dx = tfrac12integral sen x,dx ;-; tfrac12integral sen!l(tfracx2r),dx
Integramos cada parte:
integral sen x,dx = -cos x,
integral sen!l(tfracx2r),dx faça u=tfracx2implies dx=2,du Longrightarrow integral sen ucdot2,du = -2cos u = -2cos!l(tfracx2r) ç

Passo 5

Reunindo e multiplicando pelos fatores:
tfrac12(-cos x);-;tfrac12l(-2cos!tfracx2r) = -tfrac12cos x + cos!l(tfracx2r) + C

Resposta

integral sen!l(tfracx4r)cos!l(tfrac3x4r),dx = cos!l(tfracx2r);-;tfrac12cos x ;+;C

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