Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência da série:
sumk=0^infty x^kk+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
sumk=0^infty x^kk+1
O conteúdo envolvido é análise de séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois verificar o comportamento nos extremos do intervalo.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, definimos ak = x^kk+1. Calculamos
|ak+1ak| = |x^k+1k+2x^kk+1| = |x| cdot k+1k+2
Tomando o limite quando ktoinfty:
limktoinfty|ak+1ak| = |x| cdot 1 = |x|
O teste da razão diz que a série converge se este limite for menor que 1, ou seja |x|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Precisamos agora testar os pontos x=1 e x=-1:
  • Para x=1, a série vira sumk=0^infty1k+1, que é a série harmônica deslocada e diverge.
  • Para x=-1, a série vira sumk=0^infty(-1)^kk+1, que é a série harmônica alternada. Por ser monótona em módulo e ter limite dos termos nulo, ela converge (critérios de Leibniz).
    Portanto o intervalo de convergência é
-1 <= x < 1

Resposta

Raio de convergência: R = 1
Intervalo de convergência: [−1, 1)

Exercícios relacionados