Determine o intervalo de convergência e o raio de convergência da série:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
O conteúdo envolvido é análise de séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois verificar o comportamento nos extremos do intervalo.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, definimos . Calculamos
Tomando o limite quando ktoinfty:
limktoinfty|ak+1ak| = |x| cdot 1 = |x|
O teste da razão diz que a série converge se este limite for menor que 1, ou seja |x|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Precisamos agora testar os pontos x=1 e x=-1:
Para x=1, a série vira sumk=0^infty1k+1, que é a série harmônica deslocada e diverge.
Para x=-1, a série vira sumk=0^infty(-1)^kk+1, que é a série harmônica alternada. Por ser monótona em módulo e ter limite dos termos nulo, ela converge (critérios de Leibniz).
Portanto o intervalo de convergência é
-1 <= x < 1
Resposta
Raio de convergência: R = 1
Intervalo de convergência: [−1, 1)