Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de
e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
em torno de 0
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno de
, além de desenhar, usando software, os gráficos de
e do polinômio numa vizinhança de 0. O conteúdo é desenvolvimento em série de Taylor, e vamos precisar de
,
e
avaliadas em 0, além da fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2.
Passo 2
Aplique a definição de polinômio de Taylor de ordem 2: dado
, temos
Passo 3
Calcule as derivadas de
:
-
-
Avalie em: -
-
-
Passo 4
Substitua na fórmula de
:
Passo 5
Para traçar os gráficos de
e de
numa vizinhança de 0, por exemplo
, pode-se usar o seguinte script em Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Define o domínio
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 400)
# Função original e polinômio
y = np.sin(x)
y2 = x
# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(x, y, label='sin(x)', color='blue')
plt.plot(x, y2, label='Taylor 2ª ordem', color='red', linestyle='--')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.title('Comparação entre sen(x) e P_2(x) = x')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.show()