Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x0 e usando um software desenhe os gráficos da função e do polinômio de Taylor numa vizinhança do ponto especificado.
sen(x) em torno de 0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 da função f(x)=sin(x) em torno de x0=0, além de desenhar, usando software, os gráficos de f(x) e do polinômio numa vizinhança de 0. O conteúdo é desenvolvimento em série de Taylor, e vamos precisar de f, f' e f'' avaliadas em 0, além da fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2.

Passo 2

Aplique a definição de polinômio de Taylor de ordem 2: dado x0=0, temos
P2(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+f''(0)2!(x-0)^2

Passo 3

Calcule as derivadas de f(x)=sin(x):
  • f'(x)=cos(x)
  • f''(x)=-sin(x)
    Avalie em x=0:
  • f(0)=sin(0)=0
  • f'(0)=cos(0)=1
  • f''(0)=-sin(0)=0

Passo 4

Substitua na fórmula de P2(x):
P2(x)=0+1cdot x+02!x^2=x

Passo 5

Para traçar os gráficos de sin(x) e de P2(x)=x numa vizinhança de 0, por exemplo [-pi,pi], pode-se usar o seguinte script em Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define o domínio
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 400)

# Função original e polinômio
y = np.sin(x)
y2 = x

# Plot
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(x, y, label='sin(x)', color='blue')
plt.plot(x, y2, label='Taylor 2ª ordem', color='red', linestyle='--')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.title('Comparação entre sen(x) e P_2(x) = x')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

P2(x)=x

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