Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística
Profª Dra. Rosane Gomes Pereira rosanegope@ufg.br
Aluno: Matrícula:
202206080
ATIVIDADE AVALIATIVA 2 - CÅLCULO 3A
(2,5) Determine o fluxo de F através de S onde
F(x, y, z)=(3 x-z) i+(9 y-x) j+(28 z-y) k
S é a superfície do cilindro x^2+y^2=1, z=0 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo vetorial pelo contorno fechado formado pelo cilindro de raio 1 entre os planos z=0 e z=1; vamos usar o teorema da divergência. Precisamos conhecer o conteúdo de cálculo vetorial: divergência de um campo e o enunciado do teorema de Gauss–Ostrogradski.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de vec F(x,y,z)=(3x-z),vec i+(9y-x),vec j+(28z-y),vec k. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
nablacdotvec F=partialpartial x(3x-z)+partialpartial y(9y-x)+partialpartial z(28z-y)
Derivando, obtemos 3+9+28=40.

Passo 3

O teorema da divergência diz que o fluxo de vec F através da superfície fechada S é igual ao integral triplo da divergência em todo o volume V que ela limita:
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaV(nablacdotvec F),dV

Passo 4

O volume V é o cilindro de raio 1 e altura 1, logo Vol(V)=picdot1^2cdot1=pi. Assim o fluxo fica:
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral triplaV40,dV=40timesVol(V)=40pi

Resposta

40pi

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