Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=0^infty n(x-4)^nn^3+1

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em 4 dada por sumn=0^infty n(x-4)^nn^3+1. O conteúdo é intervalo de convergência de séries de potências e vamos precisar do teste da raiz (ou razão) para descobrir o raio de convergência e depois checar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, seja an=nn^3+1. Avaliamos
limsupntoinfty l|an(x-4)^nr|^1/n =limsupntoinfty l|anr|^1/n ;|x-4|
Como
limntoinfty l|anr|^1/n =limntoinfty (nn^3+1)^1/n =1 ,
temos que a condição de convergência é |x-4|<1.

Passo 3

Da condição |x-4|<1 concluímos que o raio de convergência é R=1, logo a parte interna do intervalo de convergência é (4-1,,4+1)=(3,5).

Passo 4

Faltam os extremos: em x=5 a série vira
sumn=0^infty ncdot1^nn^3+1 =sumn=0^infty nn^3+1 ,
cujo termo geral em módulo se comporta como n/(n^3)sim1/n^2. Como sum1/n^2 converge (p-série com p=2>1), a série converge absolutamente em x=5.

Passo 5

Em x=3 temos
sumn=0^infty n(-1)^nn^3+1 ,
cujo valor absoluto dos termos também é n/(n^3+1)sim1/n^2, garantindo convergência absoluta. Portanto, a série converge em ambos os extremos.

Resposta

[3,5]

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