Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série infinita:
Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências e Testes de Convergência. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão e o Teste da Alternância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma série de potências como essa depende do valor de $ x $ para saber se converge ou não. O objetivo é encontrar todos os valores de $ x $ para os quais a série soma a um valor finito.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste nos ajuda a identificar para quais valores de $ x $ a série vai convergir.
A aplicação do Teste da Razão envolve calcular o limite:
Onde $ a_n = (-1)^{n} \frac{x^{n}}{n+1} $.
Passo 4
Calculando $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Passo 5
Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se $ L < 1 $:
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo inicial é $ (-1, 1) $.
Passo 7
Agora, precisamos verificar a convergência nos extremos desse intervalo, ou seja, em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Para $ x = 1 $:
A série se torna:
Isso é uma Série Alternada. Aplicando o Teste da Alternância, vemos que $ \frac{1}{n+1} $ é decrescente e tende a zero quando $ n $ vai para infinito. Portanto, a série converge para $ x = 1 $.
Para $ x = -1 $:
A série se torna:
Isso é uma Série Harmônica, que sabemos que diverge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ -1 < x \leq 1 $.