Determine o intervalo de convergência da seguinte série:
sumn=1^infty (n!)^2 x^n2 n!

Passo 1

Temos a série de potências sumn=1^infty (n!)^22,n!x^n. O assunto aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral un da série. Note que:
un = (n!)^22 cdot n!,x^n = n!2,x^n

Passo 3

No teste da razão, calculamos a razão dos módulos dos termos consecutivos:
|un+1un| = (n+1)!2,|x|^n+1n!2,|x|^n = (n+1),|x|
Em seguida, tomamos o limite quando ntoinfty. Se |x|neq0, esse limite é infinito (maior que 1), e a série diverge. Se |x|=0, o limite é 0, indicando convergência trivial.

Passo 4

O teste da razão só é satisfeito quando |x|=0, indicando que a série converge apenas nesse único valor de x.

Resposta

0

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